«Черные дыры» из XVIII столетия

В статье «Карл Шварцшильд: астрономия, артиллерия, черные дыры» (ТрВ-Наука № 197 от 8 февраля 2016 года) говорилось о том, что Шварцшильд не выдвигал гипотезы черных дыр, но, бесспорно, проложил к ней дорогу. Теперь рассказ пойдет о двух работах ученых не меньшего масштаба, в которых нередко усматривают первые предположения о существовании этих экстремальных объектов.

Курьез Лапласа

Прозрения, о которых пойдет речь, датируются 1783 и 1796 годами. Я начну со второго, более известного. Оно принадлежит великому французскому математику, астроному и физику Пьеру Симону Лапласу (1749–1827). Выходец из нормандской купеческой семьи среднего достатка, Лаплас в двадцать лет стал профессором математики в основанной в 1750 году парижской Военной школе (École Militaire), где преподавал с 1769 по 1776 год. За это время он написал 13 работ по математике и небесной механике и через 8 дней после своего 24-летия стал членом Королевской академии наук (сейчас Академия наук Франции, в декабре ей исполнится 350 лет). В 1795 году после реорганизации французских научных учреждений Лаплас был избран вице-президентом, а годом позже — президентом Национального института. Тогда же он опубликовал двухтомный трактат Exposition du Système du Monde (Paris, 1796), который на долгие годы стал очень популярным компендиумом по точным наукам, предназначенным для широкой (но достаточно образованной) публики.

Шестая глава этой книги посвящена Солнечной системе. И вот там-то, на стр. 305, Лаплас походя сделал замечание, которое уже в XX веке стали считать едва ли не предсказанием существования черных дыр. Он отметил, что очень далекая звезда диаметром в 250 солнечных и плотностью, примерно равной плотности Земли, обладала бы настолько сильным гравитационным притяжением, что ее лучи никогда не достигли бы нашей планеты. Это означает, резюмировал Лаплас, что самые крупные светящиеся космические тела могут быть для нас в принципе невидимы. Всего два предложения — и какая сенсационная гипотеза! Тем любопытней, что появилась она не в научной, а в популярной работе и что Лаплас никак не обосновал это парадоксальное утверждение.

Впрочем, для современников оно было не слишком неправдоподобным. В XVIII веке европейские физики еще не знали, чем считать свет — потоком частиц, как предполагал Ньютон, или волновым процессом à la Гюйгенс. В Англии превалировала первая концепция, на континенте отдавали дань и второй, но, в общем, вопрос оставался открытым. Приняв первую гипотезу, можно было допустить, что световые корпускулы подчиняются ньютоновской механике, включая и закон всемирного тяготения. Тогда, если начальная скорость световых корпускул имеет верхний предел, то они могут улетать от очень массивных тел лишь на конечные расстояния. Если звезда отдалена от Земли на дистанцию, которую испущенный с ее поверхности свет не может преодолеть, она останется невидимой в любые телескопы.

Однако Лаплас не ограничился таким рассуждением, а предложил конкретный численный пример, который, повторяю, никак не обосновал. Это подвигло немецкого астронома барона Франца Ксавера фон Заха (Franz Xaver von Zach) обратиться к нему за разъяснениями. Лаплас ответил статьей, которую фон Зах в 1799 году опубликовал в своем журнале Allgemeine Geographische Ephemeriden.

Теперь припомним школьный курс механики. Минимальная скорость, необходимая выброшенному в пространство телу, чтобы уйти на бесконечную дистанцию, называется второй космической. Если тело стартует с поверхности шара массой M и радиусом R, то вторая космическая скорость равна квадратному корню из 2GM/R, где G — гравитационная постоянная, которая фигурирует в современной записи ньютоновского закона всемирного тяготения (сам Ньютон ее не использовал, и эта константа была введена в аппарат физики лишь в XIX веке). Если счесть, что скорость выброса равна скорости света c, то сразу получим, что световые корпускулы уйдут в бесконечность, лишь если R равен или больше 2GM/с2. Эта величина, называемая гравитационным, или шварцшильдовским радиусом, определяет горизонт невращающейся и незаряженной черной дыры.

Формула второй космической скорости проще всего выводится с помощью закона сохранения механической энергии, который в этом простейшем случае непосредственно следует из ньютоновского уравнения движения одиночного тела в центральном поле тяготения. Однако этот принцип закрепился в физике лишь в третьем десятилетии XIX века и Лапласу не был известен. Лаплас просто проинтегрировал частный случай этого уравнения для тела, выброшенного в пространство вертикально вверх со сферической поверхности, и вывел аналогичную формулу, но, конечно, без явного использования гравитационной постоянной. Приравняв вторую космическую скорость к скорости света, Лаплас получил уравнение, где фактически фигурировал гравитационный радиус (хотя Лаплас специально его не выделил и никак не назвал). Предполагая, что этот радиус равен 250 радиусам Солнца, он посредством дополнительных элементарных выкладок с использованием тригонометрии вычислил, что плотность звезды такого размера, не отпускающей своим притяжением корпускулы света в бесконечность, примерно в 4 раза больше средней плотности Солнца. Тем самым он обосновал свой пример, поскольку средняя плотность Земли относится к солнечной именно в этой пропорции (5,5 г/см3 для Земли и 1,4 г/см3 для Солнца). В конце XVIII столетия это соотношение было уже известно. На этом всё и закончилось. В XIX веке книга Лапласа выдержала еще несколько прижизненных изданий, но «невидимые» звезды там уже не упоминались. Большинство физиков тогда признали волновую теорию света, и апелляция к ньютоновской корпускулярной гипотезе превратилась в откровенный анахронизм. Несмотря на гигантский авторитет Лапласа, его странную идею стали воспринимать как чистую игру ума и вскоре забыли.

Озарение Джона Мичелла

Предшественником Лапласа был англичанин Джон Мичелл (John Michell, 1724–1793). В 1784 году, в официальном журнале Лондонского королевского общества появилась его статья On the Means of Discovering the Distance, Magnitude, &c. of the Fixed Stars, in Consequence of the Diminution of the Velocity of Their Light, in Case Such a Diminution Should be Found to Take Place in any of Them, and Such Other Data Should be Procured from Observations, as Would be Farther Necessary for That Purpose. By the Rev. John Michell, B. D. F. R. S. In a Letter to Henry Cavendish, Esq. F. R. S. and A.S., Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 74, 35–57 (1784). В этой работе, о которой Лаплас, скорее всего, не знал, также идет речь о невидимых звездах.

Мичелл получил образование в Колледже королев (Queens’ College) Кембриджского университета, где преподавал с 1751 по 1763 год, дойдя до должности профессора геологии. После женитьбы он, приличного дохода ради, предпочел церковную карьеру и с 1763 года до конца жизни был настоятелем (ректором) двух приходов — сначала в деревне Комптон в окрестностях Винчестера, а затем в Торнхилле неподалеку от Лидса.

Мичелл был замечательным и в высшей степени оригинальным исследователем. Его заслуженно считают отцом-основателем сразу двух наук — сейсмологии и звездной статистики. Первым титулом он обязан исследованию катастрофического Лиссабонского землетрясения 1755 года. Мичелл вычислил положение его эпицентра и понял, что подземные толчки переносятся упругими волнами, распространяющимися в земной коре. Второе звание Мичелл заработал, доказав реальность существования двойных звезд с помощью статистических соображений, которые до того вообще не применялись в астрономии. Он же первым обнаружил, что сила отталкивания между одноименными полюсами постоянных магнитов убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, и задолго до Шарля Кулона (Charles Coulomb) изобрел и претворил «в железе» крутильные весы, которыми хотел, но не успел воспользоваться для гравиметрических экспериментов. После смерти Мичелла его друг Генри Кавендиш (Henry Cavendish) получил этот прибор и, модифицировав его, выполнил прецизионные промеры силы тяготения, которые уже в XIX веке позволили вычислить гравитационную постоянную с ошибкой порядка одного процента. К слову, Мичелл отослал свою статью именно Кавендишу, зачитавшему ее на заседаниях Королевского общества в конце 1783 и в начале 1784 года.

Во вводном письме к Кавендишу Мичелл четко сформулировал цель своего исследования. Будучи убежденным ньютонианцем, он безоговорочно считал свет потоком мельчайших частиц, подчиняющихся законам механики. Мичелл решил, что это дает возможность измерять расстояния до звезд, звездные величины и звездные массы (стр. 35). Считая, что световые частицы всегда покидают светящиеся тела с одной и той же скоростью, Мичелл предлагал измерять скорость звездного света и с помощью законов небесной механики извлекать из этих измерений сведения о самих звездах. Например, если члены определенного звездного семейства удалены от Земли примерно на одинаковые расстояния, то подобные наблюдения позволят оценить отношения звездных масс (чем тяжелее звезда, тем сильнее ее тяготение затормозит корпускулы света).

Мичелл подробно объяснил детали своего метода, причем, в духе ньютоновских «Математических начал натуральной философии», его изложение строго геометрично. Конечно, этот труд был потрачен впустую — скорость света в вакууме постоянна. Статья Мичелла, скорее всего, была бы забыта, если бы не вывод, к которому 13 лет спустя пришел и Лаплас. Мичелл тоже отмечал, что очень массивная звезда настолько замедлит световые частицы, что они не смогут уйти в бесконечность. Весь свет под действием ее собственного притяжения «будет вынужден возвратиться обратно к звезде» (стр. 42). Отсюда следует, что она станет невидимой — по крайней мере, с очень больших дистанций. Мичелл утверждал, что звезда с такой же плотностью, как у Солнца, окажется невидимой для очень далеких наблюдателей, если ее диаметр примерно в 500 раз больше солнечного. В отличие от Лапласа, Мичелл (опять-таки в духе Ньютона) получил эту оценку путем весьма остроумных геометрических построений.

Мичелл задумывался и над тем, как обнаружить звезду, если ее свет не достигает нашей планеты. И предложил не просто осуществимое, но и абсолютно современное решение. Если такая звезда входит в двойную систему и свет ее партнера попадает в наши телескопы, то можно судить о наличии невидимой звезды, наблюдая и анализируя периодические смещения видимого члена звездной пары. Как известно, на базе этого подхода удалось спектрографическими методами обнаружить множество экзопланет. Его также (вот уж поистине ирония истории!) применяют и для поиска черных дыр!

Было ли предсказание?

Мичелл и Лаплас пришли к идее невидимых звезд не только независимо, но и в разных интеллектуальных контекстах. Для Мичелла эта идея стала естественным следствием программы оценки звездных масс посредством измерения скорости их света. Лаплас ни о чем подобном не задумывался и рассмотрел эту возможность просто как любопытное следствие ньютоновской теории света. Как же интерпретировать их выводы с современной точки зрения?

Понятно, что аналогия между черными дырами в современном понимании и «невидимыми» звездами Мичелла и Лапласа весьма приблизительна и поверхностна. Классическая черная дыра не испускает и не отражает света (гипотетическое излучение Хокинга — чисто квантовый эффект) и в этом смысле действительно является черной. Ньютоновские световые корпускулы, напротив, покидают поверхность звезды любой массы и любого радиуса, только не всегда уходят в бесконечность. Поэтому и у Мичелла, и у Лапласа никаких абсолютно черных звезд нет и быть не может, все они видимы с тех или иных расстояний.

Есть и другие различия. Так, Мичелл и Лаплас приписывали невидимость на больших дистанциях лишь звездам в миллионы солнечных масс (каковых, кстати, не существует в природе). Ни тот ни другой не поняли, что в рамках ньютоновской теории света аналогичными свойствами могут обладать и небольшие светящиеся тела чрезвычайно высокой плотности. Впрочем, о возможности столь компактных космических объектов в те времена никто не задумывался.

Насколько правильными оказались примеры Мичелла и Лапласа? Начнем с Мичелла. Используя приведенную выше формулу, нетрудно вычислить, что гравитационный радиус тела с массой Солнца равен примерно 3 км. Масса звезды солнечной плотности, чей поперечник в 500 раз больше солнечного, составляет 125 млн солнечных масс. Гравитационный радиус тела такой массы — 375 млн км. Средний радиус Солнца — около 700 тыс. км, а если его помножить на 500, получим 350 млн. Так что Мичелл ошибся совсем немного. Оценка Лапласа оказалась еще ближе к истине.

Как они добились такой точности, ничего не зная о постоянной тяготения? В числителе формулы гравитационного радиуса эта константа помножена на массу источника гравитации. И Мичелл, и Лаплас «танцевали» от Солнца, для которого это произведение равно радиусу земной орбиты, умноженному на квадрат линейной скорости Земли, равной отношению длины земной орбиты к продолжительности земного года. В конце XVIII века радиус орбиты Земли (то есть астрономическая единица) был известен с ошибкой всего лишь в два процента благодаря вычислениям Жерома Лаланда (Jérôme Lalande); примерно такой же была и погрешность измерения скорости света, которую методом аберрации определил Джеймс Брэдли (James Breadley). Так что и Мичелл, и Лаплас располагали неплохими даже с современной точки зрения численными данными. И, конечно, они использовали их с блеском — как и подобает ученым экстра-класса.