Математика в Месопотамии

ša3 niĝ2-kas7 nu-zu ša3 igi-ĝal2 tuku
Обладает ли мудростью душа, которая не овладела искусством счета?

Шумерская пословица,
Alster B. Proverbs of Ancient Sumer, 1997, 54, 116

Обычно, когда мы говорим о математике в древней Месопотамии, мы имеем в виду старовавилонский период (1800–1595) или вторую половину I тыс. до н. э. От этих периодов сохранилось множество табличек математического содержания, которые опубликованы и хорошо изучены. Но вообще-то математика в Месопотамии родилась раньше письменности. Более того, она послужила толчком для развития последней.

Сначала для учета продукции храмовых хозяйств использовались счетные фишки, изображавшие тот или иной вид продукта. К IV тыс. до н. э. вместо фишек стали использоваться глиняные таблички с их изображениями или рядами чисел. Уже первые таблички с расчетами количества зерна для пива или с вычислением площади поля демонстрируют нам, что жители Месопотамии неплохо разбирались в прикладной математике. Немногочисленные математические таблички, дошедшие до нас от III тыс. до н. э., показывают, что население Междуречья (сначала шумеры, позже — сменившие их аккадцы) умножали и делили, оперировали дробями, вычисляли площадь полей — в том числе полей нерегулярной формы, — а также объем стен и количество кирпичей, необходимое для их возведения.

Существует пример алгоритмического расчета роста поголовья скота на протяжении десяти лет (табличка TCL 2, 5499; CDLI: P131589): в начале дано 4 коровы и два разнополых теленка. Каждая вторая корова приносит каждый год по теленку. Каждый первый теленок — мужского пола, каждый второй — женского. На четвертый год каждый теленок становится быком или коровой. В течение года каждая корова приносит определенное количество сыворотки и сыра. Заданы также цены на сыворотку и сыр. В конце подсчитывается количество коров, быков и телят в стаде через десять лет; общее количество сыворотки и молока, полученных в течение десяти лет, и их стоимость в серебре.

Многие первые математические таблички, как, например, описанная во врезке, явно представляют собой упражнения, а не практические вычисления — они оперируют очень большими или очень малыми числами, описывают идеальную ситуацию, в них отсутствует маркеры хозяйственных документов. В III тыс. до н. э. в ходу было несколько разных систем счисления и разных систем мер и весов. Благодаря ряду бюрократических реформ к концу III тыс. — началу II тыс. до н. э. они были в значительной степени унифицированы. Шире всего стала применяться шестидесятеричная система счисления — появились первые таблицы с парами взаимно обратных чисел, произведение которых равно 60.

К старовавилонскому периоду все жанры математических текстов, а также круг решаемых задач (арифметических, алгебраических и геометрических) уже существовали. Но от этого времени, в отличие от предыдущего, до нас дошли тысячи табличек математического характера. Среди них таблицы на умножение, таблицы обратных величин, квадратных и кубических корней, квадратов последовательных целых чисел, сумм кубов и квадратов и сотни словесных алгебраических и геометрических задач. Поэтому при описании месопотамской математики принято опираться именно на этот период.

На основе источников можно сделать вывод, что вавилоняне умели решать линейные и квадратные уравнения, системы линейных уравнений, использовали правила суммирования прогрессий, в задачах применяли пропорции, проценты; оперировали числом π, вычисляли площадь сегмента круга и объем усеченного конуса, площадь правильных многоугольников и неправильных четырехугольников; на практике применяли теорему Пифагора (без доказательства самой теоремы). Умели в древнем Вавилоне решать и некоторые более сложные уравнения, которые с помощью линейной замены переменной сводились к уравнению с целым корнем, который искали перебором.

Математике начинали обучать в старовавилонской школе сразу после того, как ученики осваивали основной репертуар клинописных знаков. Начинали с изучения прикладной метрологии и арифметики, потом переходили к словесным задачам по алгебре и геометрии.

Plimpton 322

Пожалуй, самым известным математическим текстом, написанным на глиняной табличке в старовавилонскую эпоху, является табличка Plimpton 322. Джордж Артур Плимптон, по имени которого она названа, был издателем учебной литературы в Нью-Йорке — и частным коллекционером. Он приобрел эту табличку около 1922 года за 10 долларов у американского дипломата и антиквара Эдварда Банкса, который в свободное от работы время занимался раскопками, а также покупал и перепродавал глиняные таблички (считается, что он был прототипом Индианы Джонса). В 1936 году Плимптон передал эту табличку в дар Колумбийскому университету, где она хранится и сейчас в библиотеке редких рукописей и манускриптов.

Судя по особенностям письма, табличка была написана в конце XIX или XVIII веке до н. э. и относится, следовательно, к старовавилонскому периоду. Э. Банкс утверждал, что табличка была найдена в руинах города Ларсы, расположенного в Южной Месопотамии. Действительно, своим горизонтальным форматом табличка напоминает административные документы из Ларсы, хотя этот формат и не свойственен другим математическим табличкам из этого города.

Считается, что примерно треть от первоначального размера таблички слева утрачена. Размеры сохранившейся части таблички составляют 13x9x2 см. Лицевая сторона таблички поделена на четыре колонки по пятнадцать строк каждая. Разделительные линии колонок продолжаются и на обратной стороне таблички, но текст на ней отсутствует. Над каждой из четырех колонок на лицевой стороне сделаны пояснения на аккадском языке с использованием шумерских логограмм.

Plimpton 322 — таблица, в которой собраны пифагоровы тройки — размеры прямоугольных треугольников, у которых оба катета и гипотенуза выражаются целыми числами. В табличке выписаны два катета, а вместо гипотенузы — квадрат отношения гипотенузы к одному из катетов. Ее описание проще всего начать с четвертой колонки, озаглавленной как «его/ее строка». В этой колонке содержится нумерация строк таблички с 1 по 15.

Во второй и третьей колонке записаны 15 пар чисел из пифагоровых троек в шестидесятеричной системе. При уравнении вида a2 + b2 = c2 вторая колонка содержит числа a (соответствуют самой короткой стороне прямоугольного треугольника). В третьей колонке содержатся числа c (соответствуют гипотенузе прямоугольного треугольника). Заголовок второй колонки содержит слово «ширина», а третьей — «диагональ». Этим словам в обоих случаях предшествует логограмма IB2.SI8. Возможный перевод этой логограммы — «квадрат», то есть вторая колонка может называться «квадрат ширины», а третья — «квадрат диагонали». Однако математики, занимающиеся этой табличкой, всё еще спорят по поводу интерпретации этой логограммы в данном контексте.

В первой колонке содержатся числа, полученные при разделении c2 на b2. Озаглавлена она как «квадрат диагонали (гипотенузы), из которой вырвана единица, так что остается ширина (короткая сторона)».

Первыми (в 1940-х годах) табличкой заинтересовались профессор Брауновского университета, математик и историк науки Отто Нейгебауэр и ассириолог Абрахам Закс (Abraham Sachs). Они интерпретировали табличку как запись пифагоровых чисел. Долгое время табличка считалась уникальной. Действительно, нам неизвестны другие подобные таблицы с пифагоровыми тройками. Но задачи на пифагоровы треугольники — обычное дело для старовавилонской школы. Так, Элеанора Робсон [6], специалист по месопотамской математике, изучала табличку Plimpton 322 в контексте других вавилонских математических табличек и показала их сходство. Кроме того, она попыталась реконструировать отсутствующую часть текста. По ней ([6]:116), в утерянной части таблички были записаны пары взаимно обратных чисел. Они были использованы для нахождения короткой стороны и гипотенузы прямоугольного треугольника с длинной стороной, равной единице, с помощью метода дополнения квадрата. Один из промежуточных результатов записан в первой сохранившейся колонке. Существуют и другие попытки как реконструкции, так и интерпретации таблички [5]. Хайосси в своей статье не только предлагает свою интерпретацию различных аспектов, связанных с этим текстом, но и кратко перечисляет теории других исследователей.

Литература для дополнительного чтения

Friberg, J. Methods and traditions of Babylonian mathematics: Plimpton 322. Pythagorean triples and the Babylonian triangle parameter equations. Historia Mathematica, 8 (1981), pp. 277–318.

Friberg, J. A Remarkable Collection of Babylonian Mathematical Texts: Manuscripts in the Schøyen Collection, Cuneiform Texts I, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Berlin: Springer.

Proust, C. On the nature of the table Plimpton 322. Mathematisches Forschungsinstitut

Oberwolfach, Oberwolfach Report 12/2011, pp. 664–666.

Robson, E. Neither Sherlock Holmes nor Babylon: A Reassessment of Plimpton 322. Historia Math., 28 (2001), pp. 167–206.