Как доклад РОИИП делегитимирует выборы

Математик Александр Шень прислал в редакцию рецензию на вышедший доклад И. Б. Борисова, И. В. Задорина, А. В. Игнатова, В. Н. Марачевского, В. И. Фёдорова «Математические инструменты делегитимации выборов. Доклад Российского общественного института избирательного права» (Москва, 2020) [1].

Казалось бы, жаркие споры о статистическом анализе результатов выборов отошли в прошлое. Сделанные «по горячим следам» оценки (см., например, [2], 11 октября 2009 года), согласно которым имели место фальсификации, были встречены критически [3, 4]. Если в связи с первой из этих работ можно говорить о «конфликте интересов» (один из авторов служил тогда «председателем ЦИК»), то вторая написана известным и очень квалифицированным математиком.

Критика эта была во многом заслуженной. В некоторых случаях за признаки фальсификаций принимались артефакты представления данных (пик на 50%). В других «ненормальность» распределения принималась за доказательство фальсификаций. Дополнительная путаница возникала еще и потому, что «нормальность» в математическом смысле (пропорциональность функции Гаусса) легко смешать с «нормальностью» в бытовом смысле («выборы прошли нормально»).

С тех пор ситуация прояснилась: артефакты представления были идентифицированы, а различные гипотезы, объясняющие возможные формы гистограмм, — протестированы на последующих выборах. Эмоциональные записи в блогах были дополнены подробными работами, опубликованными в научных журналах по статистике [5, 6, 7], в которых статистические признаки фальсификации никак не опирались на предположение о нормальности (в смысле Гаусса) распределений. Вопрос о статистическом анализе выборов (как научный, а не общественный вопрос) казался более или менее закрытым.

В рецензируемой работе вновь поднимается вопрос о некорректности проведенного статистического анализа. Но основана она на недоразумении: авторы справедливо указывают и подтверждают многочисленными примерами, что гистограммы выборов вполне могут сильно отличаться от «гауссовых» и в отсутствие фальсификаций. Вероятно, они не видели упомянутых выше работ и предполагают, что до сих пор выводы о фальсификациях основаны на отклонении от «гауссовости».

Авторы выдвигают также и политические обвинения: «говорить о „доб­росовестном заблуждении“ авторов „математических теорий“ оценок электорального поведения, распространяющих недостоверную информацию, в данном случае не приходится» (с. 4). В связи с этим можно вспомнить выступления учеников Лысенко, которые заявляли, что «сроки, масштабы, а главное, результаты, предусматриваемые теорией менделизма, непригодны для нашей советской действительности» [8], «как писал Ленин <…> статистика, приводящая к обезличке, превращается в пустейшую и вреднейшую „игру в цифирь“» [9]. На что Колмогоров, проведя корректный статистический анализ работ лысенковцев и установив, что они вполне согласуются с якобы опровергаемыми ими «гороховыми законами» [10], кратко заметил: «…работа Кольмана <…> целиком основана на непонимании изложенных в нашей заметке обстоятельств».

Можно было бы последовать его примеру и ограничиться сказанным (авторы спорят с тезисом об «априорной гауссовости», на который анализ не опирается), но можно и отметить крайнюю небрежность авторов при подготовке текста. Воспроизводя один из критикуемых графиков, они пишут (с. 17): «Вызывают „подозрения“ у авторов-составителей графиков результаты голосования в Черноголовской ТИК Московской области». Между тем на воспроизводимом ими графике написано «0 тыс. аномальных голосов» — как видно, авторы не только не разбирались в данных, но даже не прочли надписи на рисунке, который включили в свою работу. В их оправдание можно заметить, что надпись эта сделана мелким (хотя и вполне разборчивым) шрифтом.

Авторы сочли нужным включить в свою работу «математическое доказательство» того хорошо известного факта, что сходимость к гауссову распределению происходит при стремлении размера системы к бесконечности (раздел 5, «Особенности математического моделирования процесса»). Однако этому разделу даже при самом благожелательном отношении и при большом опыте проверки работ двоечников трудно придать смысл.

Авторы пишут на с. 45, что «для равновероятного учёта всех возможных вкладов голосующих избирателей, отдавших $m$ голосов ‘за’ на каждом из участков» число избирательных участков должно быть равно $C_n^m$ (где $n$ — размер участка) и что «это однозначно накладывает условие на общее число избирателей, равное $N = nY$» (где Y = 2n, авторы вместо этого пишут сумму биномиальных коэффициентов, вероятно, не зная о том, что она равна 2n).

В оправдание авторов можно заметить две вещи. Во-первых, эта абсурдная аргументация относится к верному утверждению. Во-вторых, сам раздел 5 с точки зрения верстки представляет собой «копипасту» фрагментов другого текста, выполненного в системе TeX, в виде полутоновых рисунков, так что, возможно, претензии к содержанию следует адресовать автору этого другого текста.

Отметим, что статистические методы по своей природе ничего не говорят о «легитимности выборов». Они отвечают на более технический вопрос: насколько правдоподобна «нулевая гипотеза» о том, что опубликованные результаты выборов получены корректным подсчетом, — и имеющиеся данные указывают на то, что для большинства голосований последних лет (включая «поправки к Конституции» и «крымский референдум») нулевая гипотеза не выглядит правдоподобной.

Но если уж говорить о методах «делегитимации выборов», то стоило бы отметить два возможных (и, видимо, эффективных) метода: (1) фальсификацию их результатов, а также (2) публикацию безграмотных текстов в качестве опровержения вполне корректных, пусть даже и непрочитанных, работ.

В последнем абзаце рецензируемой работы авторы рекомендуют «продолжать работу по повышению правовой культуры избирателей, обращая внимание на вопросы критериев подлинности результатов выборов и оценки достоверности информации». Присоединяясь к этому пожеланию, выражаю надежду, что данная рецензия является шагом в указанном направлении.

1. roiip.ru/images/data/gallery/0_299_Matematicheskie_instrumenti_delegitimatsii_viborov.pdf
2. График распределения голосов по районам, запись в блоге: uborshizzza.livejournal.com/674242.html
3. Чуров В. Е., Арлазаров В. Л., Соловьев А. В. Итоги выборов. Анализ электоральных предпочтений // Труды ИСА РАН. 2008. Т. 38. С. 6–22.
4. Neretin Y. On statistical researches of parliament elections in Russian Federation, 04.12.2011. Preprint (January 2012).
   
5. Klimek P., Yegorov Y., Hanel R., Thurner S., Statistical detection of systematic election irregularities // Proceedings of the National Academy of Sciences. 2012. 109(41). P. 16469–16473.
6. Kobak D., Shpilkin S., Pshenichnikov M. S. Integer percentages as electoral falsification fingerprints // The Annals of Applied Statistics. 2016. 10(1). P. 54–73.
7. Kobak D., Shpilkin S., Pshenichnikov M. S. Statistical fingerprints of electoral fraud? // Significance. 2016. 13(4). P. 20–23.
8. Ермолаева Н. М. Еще раз о «гороховых законах» // Яровизация. 1939. Вып. 2(23). С. 79–86.
9. Кольман Э. Извращения математики на службе менделизма // Яровизация. 1939. Вып. 3(24). С. 70–73.
10. Колмогоров А. Н. Об одном новом подтверждении законов Менделя // Доклады АН СССР. 1940. Т. 27. С. 38–42.