31 мая 2008, 14:17 Наука Размер текста А А А

Племя логарифмических линеек

Аборигены мундуруку используют логарифмическую шкалу

Пётр Смирнов Необразованные аборигены умеют логарифмировать, а школьная подготовка затрудняет использование высшей математики в повседневной жизни. Ученые обнаружили индейцев мундуруку, представляющих числа на логарифмической шкале. Заинтересовавшиеся этим феноменом специалисты обнаружили, что то же самое свойственно и детям до 1–2-го класса, что подтвердило гипотезы о большей «биологичности» такого подхода.

За тысячи лет эволюции и развития общества большинство людей потеряли многие умения, подаренные природой. Конечно, всевозможные ухищрения, изобретенные человечеством за годы научно-технического прогресса, с лихвой компенсируют эти «недостатки», касающиеся физических способностей, чувствительности и здоровья. Как выясняется, это касается и математических навыков, и даже умения считать, как бы недоступного даже самым близким «животным родственникам».

Умение считать не исключительная особенность человечества. Например, макаки тоже могут оценивать небольшое количество предметов и даже способны постигнуть азы арифметики. Но если судить по результатам исследования Станисласа Доэна и его коллег, то большая часть предыдущих экспериментов по изучению счета на животных могла быть не совсем корректна. Работа психологов опубликована в последнем номере Science.

И, хотя ученые проводили эксперименты на людях, они показали большую «естественность и природность» логарифмического мышления, а не классического линейного, изучаемого всеми нами в школе и используемого большинством. То есть разница даже не в самой системе счисления, а в подходе, лежащем в её основе.

Ученые проводили основные эксперименты среди аборигенов амазонского племени мундуруку, практически полностью изолированного от искушений развитых цивилизаций, в частности образования. Такие племена интересны не только для филологов, но и для математиков. Например, аборигены Океании, говорящие на мангареванском, одновременно используют несколько систем счисления, которые более «предметно ориентированы», нежели традиционная десятичная.

Представители Мундуруку используют ещё менее абстрактный подход – в нашем понимании они логарифмируют количество демонстрируемых им объектов.

Хотя они, естественно, не имеют ни малейшего представления ни об этой математической операции, появившейся в начале XVII века, ни даже о нашем подходе к исчислению. Конечно, избежавшие высшей математики в институте вряд ли скажут, что такое логарифм, что не мешает им регулярно пользоваться такой шкалой.

close 100%

Сравнение положения чисел на линейной и логарифмической шкалах

Логарифмический масштаб На шкале в логарифмическом масштабе длина отрезка шкалы пропорциональна логарифму отношения величин отмеченных на концах этого отрезка (в то время как на шкале в линейном масштабе длина отрезка пропорциональна разности величин на его концах).

Наглядный пример употребления и полезности логарифмического масштаба — логарифмическая линейка которая позволяет проводить довольно сложные вычисления с точностью два-три десятичных знака.

Логарифмическая шкала исключительно удобна для отображения очень больших диапазонов значений величин. Кроме того, для многих органов чувств величина ощущения пропорциональна логарифму воздействия. Например, в музыке ноты, различающиеся по частоте в два раза, называются одним и тем же именем, а интервал между нотами в полтона соответствует отношению их частот 21/12. Поэтому нотная шкала — логарифмическая. Кроме того, согласно закону Вебера — Фехнера, воспринимаемая громкость звука также пропорциональна логарифму его интенсивности (в частности, логарифму мощности колонок). Поэтому на амплитудно-частотных характеристиках звуковоспроизводящих устройств применяют логарифмический масштаб по обеим осям.

Примеры применения логарифмического масштаба:

* Шкала Рихтера интенсивности землетрясений
* Шкала экспозиций в фотографии
* Звздные величины — шкала яркости звезд
* Шкала pH
* Шкала интенсивности звука — децибелы
* Шкала частоты звука — нотная шкала

Аборигенам удалось познакомиться с достижением современных технологий – ноутбуком на солнечных батареях, на экране которого демонстрировали определенное количество точек, а потом просили поставить черту, им соответствующую, на числовой оси. Эксперимент повторили и со звуковыми сигналами, проигрывая одинаковые звуки некоторое число раз.

Результат оказался одинаковым в обоих экспериментах: аборигены проводили отметку по логарифмическому принципу: тройку отмечали посредине между 1 и 10, а 5, 6, 7, 8 и 9 – соответственно, совсем близко к десятке.

Образование сказалось на этом умении логарифмировать без калькулятора и линейки не лучшим образом: индейцы, хоть немного знавшие португальский или испанский, а вместе с ними и числительные, расставляли значки на оси по «цивилизованному» линейному принципу с одинаковыми промежутками между 1, 2, 3 и т. д.

Так же как и необразованные индейцы, поступали бостонские дети в возрасте до 5–7 лет, едва постигшие азы арифметики.

Закон Вебера — Фехнера эмпирический психофизиологический закон, заключающийся в том, что интенсивность ощущения пропорциональна логарифму интенсивности стимула.

В ряде экспериментов, начиная с 1834 года, Э. Вебер показал, что новый раздражитель, чтобы отличаться по ощущениям от предыдущего, должен отличаться от исходного на величину, пропорциональную исходному раздражителю. Так, чтобы два предмета воспринимались как различные по весу, их вес должен различаться на 1/30, для различения яркости двух источников света необходимо, чтобы их яркость отличалась на 1/100 и т. д.

На основе этих наблюдений Г. Фехнер в 1860 году сформулировал «основной психофизический закон», по которому сила ощущения пропорциональна логарифму интенсивности раздражителя.

Так, люстра в которой 8 лампочек, кажется нам настолько же ярче люстры из 4-х лампочек, насколько люстра из 4-х лампочек ярче люстры из 2-х лампочек. То есть, количество лампочек должно увеличиваться в разы, чтобы нам казалось, что прирост яркости постоянен. И наоборот, если прирост яркости постоянен, нам будет казаться, что он уменьшается. Например, если добавить одну лампочку к люстре из 12 лампочек, то мы практически не заметим прироста яркости. В то же время, одна лампочка, добавленная к люстре из двух лампочек, дат значительный кажущийся прирост яркости.

Закон Вебера — Фехнера можно объяснить тем, что константы скорости химических реакций проходящих при рецептировании нелинейно зависят от концентрации химических посредников физических раздражителей или собственно химических раздражителе.

С точки зрения биологии, химии и физики в таком феномене нет ничего удивительного. Во-первых, наши органы чувств воспринимают изменение сигнала на порядок (в несколько раз), а не на определенную величину. Во-вторых, химические реакции, так же как и популяционные модели в экологии, гораздо «представительнее» выглядят в логарифмическом и полулогарифмическом масштабе. Он позволяет уместить на одной оси числа, отличающиеся друг от друга на порядок, сохранив при этом «точность», соответствующую масштабу.

Возможно, теперь аборигенами заинтересуются не только антропологи с филологами, но и профессиональные математики.