Как бороться с пробками?

В последнее время появилось довольно много работ, посвященных проблеме пробок в Москве. Мэр Москвы объявил борьбу с пробками одним из главных приоритетов, руководитель департамента транспорта, согласно «Ведомостям», круглосуточно наблюдает за дорогами в планшете, а в Генплане делают подробную модель транспортной системы Москвы. Александр Гасников (МФТИ), Юрий Дорн (МФТИ, НИиПИ Генплана Москвы), Андрей Прохоров и Владимир Швецов (А+С Консалт) рассказывают о тех подходах, которые могут предложить ученые к решению этих проблем.

На наш взгляд приоритеты и меры борьбы с пробками выбирают­ся всё более адекватные. Одна­ко, как правило, именно эффектив­ные методы встречают сопротивле­ние со стороны населения, а под­держкой пользуются в основном со­мнительные инициативы. В этой ста­тье мы хотели бы поговорить о мерах борьбы с пробками и их действен­ности (более строгое с математиче­ской точки зрения изложение мож­но найти в книге «Введение в мате­матическое моделирование транс­портных потоков» [1]).

Откуда берутся пробки?

Продемонстрируем «на пальцах» одну из причин возникновения про­бок, важную в дальнейшем. Предпо­ложим, что у нас поток в 2000 авто­мобилей в час из пункта А в пункт Б. Причем из А в Б ведут две дороги (маршрута). Первая дорога — «бы­страя», путь занимает 20 минут (если нет пробок), но по ней может прое­хать не более 1200 автомобилей в час. Вторая же дорога — «объезд», на нем тоже может проехать 1200 автомо­билей в час, но уже за 40 минут. По­нятно, что сначала все водители по­пробуют проехать по «быстрой» до­роге. Но она не способна обслужить весь поток. Начнет образовываться очередь (пробка).

С ростом числа автомобилей в проб­ке будет увеличиваться и время про­езда по данной дороге для новопри­бывших автомобилистов. В какой-то момент некоторым из пользователей покажется, что пробка так разрослась, что выгоднее ехать в объезд. Причем на объезде все поедут свободно. Так мы получим равновесие, при кото­ром обе альтернативы сулят одина­ковый выигрыш (ну или проигрыш). Понятно, что именно эгоизм водите­лей мешает сразу распределить тра­фик так, чтобы все лишние машины поехали в объезд. Пробка — плата за эгоизм. Ее роль — уравнять выигры­ши на используемых альтернативах.

Всегда ли выгодно строить новые дороги?

Почему строительство новых дорог не всегда улучшает ситуацию с проб­ками и способно даже усугубить про­блему? Есть два важных соображе­ния на этот счет. Воспользуемся сле­дующей простой моделью.

Представим пользователей (не толь­ко водителей) транспортной инфра­структуры в качестве игроков, кото­рые выбирают сначала тип транспор­та, а затем подходящий маршрут и стараются минимизировать свои из­держки на проезд. Под издержками мы понимаем не только время в пути, но и комфортность передвижения, а также финансовые и другие затраты водителей. Тогда мы получим обыч­ную игру, для решения которой нуж­но найти равновесие. Это равнове­сие носит имя Нэша — Вардропа. Ин­тересно, что система «скатывается» в него, даже если водители не уме­ют точно оценивать ситуацию на до­роге, но при этом могут «учиться» со временем. Это стандартный резуль­тат эволюционной теории потенци­альных игр. Желающих познакомить­ся с игровой постановкой поближе мы отсылаем к статье Вильяма Сэндхольма [2], а сейчас вернемся к на­шим водителям.

Соображение первое: издержки во­дителей определяются из условия равновесия между личным и обще­ственным транспортом.

Строительство новых дорог приво­дит (обычно, но не всегда) к увеличе­нию пропускной способности транс­портной сети и к снижению сред­них (временных) издержек водите­лей. Если бы все жители использо­вали только личные транспортные средства, то цель была бы достигну­та — среднее время в пути при стро­ительстве новых дорог скорее всего снизилось бы. Однако транспортная система включает также обществен­ный транспорт, пользователи которо­го зачастую имеют автомобиль или могут позволить себе его покупку.

Посмотрим на то, как друг на дру­га влияют общественный и личный транспорт. В равновесии издержки (среднее время в пути с учетом ком­фортности передвижения) для води­телей личного и пользователей об­щественного транспорта равны (см. рис. 1). Причем не так уж важно то, что не все пользователи общественного транспорта могут позволить себе ав­томобиль. Важно лишь то, чтобы авто­мобилем владели или могли владеть достаточное их количество (что, во­обще говоря, и наблюдается).

Допустим, что строительство до­рог приведет к исчезновению про­бок и существенному снижению вре­мени проезда на личном транспор­те. Это соответствует сдвигу графи­ка издержек для личного транспорта «вправо» (если не наблюдается ано­малий, таких, как парадокс Браесса, о котором мы будем говорить ниже). Но тогда пассажирам общественно­го транспорта, имеющим автомобиль, становится выгодно вновь начать его использовать. В свою очередь изме­нение их решения приведет к увели­чению числа автомобилистов, что вы­зовет появление пробок и, следовательно, увеличению времени в пути. Система «скатится» в новое равно­весие, в котором издержки при ис­пользовании общественного и лично­го транспорта вновь совпадут. Конеч­но, в среднем мы (обычно) выигрыва­ем, но куда меньше, чем ожидалось. Доступная альтернатива — улуч­шать общественный транспорт. Это соответствует сдвигу графика из­держек общественного транспорта «вниз». В равновесии издержки на общественном и личном транспор­те равны, а значит, улучшая обще­ственный транспорт и привлекая на него больше людей, ранее исполь­зовавших автомобиль, мы разгружа­ем дороги и улучшаем ситуацию во всей транспортной системе. Конечно, строительство дорог работает обыч­но в том же ключе. Но оно несрав­нимо дороже.

Соображение второе: иногда вы­годнее закрывать дороги, а не стро­ить новые.

Еще в 60-х годах прошлого столетия немецкий математик Дитрих Браесс привел пример сети, в которой стро­ительство новой дороги приводило к увеличению издержек (времени проез­да) для всех участников дорожного дви­жения [3]. Данный контр интуитивный пример был назван парадоксом его имени. Буквально через год было по­казано, что он наблюдается в реаль­ных сетях. В частности, неэффектив­ные дороги нашли в Германии, позд­нее в США и ряде других стран. Со­всем недавно парадокс Браесса был выявлен во Владивостоке. Более того, как показали Роугарден и Вэлиант [4], данный парадокс встречается с боль­шой вероятностью в случайных гра­фах, то есть в случайно построенных транспортных сетях.

Может показаться, что проблема надуманна, и достаточно найти неэф­фективные ребра в имеющейся сети, убрать их и правильно строить доро­ги в дальнейшем. Однако всё слож­нее. Ранее Роугарден показал [5], что даже при достаточно общих предпо­ложениях о свойствах транспортной сети поиск неэффективных ребер яв­ляется NP-сложной задачей, то есть фактически не решаемой. С другой стороны, как показал Мильтах, един­ственная сеть, в которой не может ре­ализоваться парадокс Браесса, — это сеть параллельных дорог. Всё это го­ворит о том, что непродуманное уве­личение числа дорог может не только не улучшить ситуацию, но даже ухуд­шить ее, причем для всех участников дорожного движения.

Модельный пример см. на рис. 2.

Из 1 в 4 в единицу времени выез­жает 6 автомобилей. Буквой y обо­значается количество автомобилей, проезжающих по данному ребру в единицу времени, формулы над ре­брами — веса ребер (время проезда ребра в минутах в зависимости от ве­личины потока автомобилей по ре­бру y). Условие равновесия: все исполь­зуемые пути должны иметь одинако­вую «длину». Всего путей, ведущих из 1 в 4 три: 1—3—4, 1—3—2—4, 1—2—4.

Легко проверить, что если эти 6 ав­томобилей в одинаковых пропорци­ях распределятся по всем этим путям (по 2 автомобиля в единицу времени на каждый путь), то время прохожде­ния каждого пути («длина» пути) бу­дет равна 92 минутам (10·(2+2)+(50+2) = 10·(2+2)+(10+2)+10·(2+2) = (50+2)+10·(2+2)). Это и будет един­ственным равновесием (Нэша — Вардропа) в транспортной сети. То есть от такой конфигурации никому из во­дителей не выгодно отклоняться при условии, что остальные водители не меняют свой выбор.

Однако если ребро (дорогу) 3—2 пе­рекрыть, то единственной равновесной конфигурацией будет по 3 автомобиля в единицу времени на пути 1—3—4 и 1—2—4. Время в пути будет 10·3+(50+3) = (50+3)+10·3 = 83 минуты. То есть всем стало лучше! Примечательно, что если предложить людям играть в такую по­вторяющуюся игру (мы проводили та­кой эксперимент со студентами Физте­ха), в которой выбор маршрута следо­вания определяется каждым игроком на основе предыдущих розыгрышей, то система действительно сходится в равновесие Нэша — Вардропа в обо­их случаях (с дорогой 3—2 и без нее).

Социальный оптимум и как его достичь?

Было обнаружено, что во многих реальных транспортных сетях ти­пичной является следующая ситуа­ция. Возникающее равновесное рас­пределение потоков (равновесие Нэша — Вардропа) довольно дале­ко от того, чего можно достичь в со­циальном оптимуме, то есть в луч­шем, с точки зрения общества, слу­чае (см., например, рис. 2). Социаль­ный оптимум можно достичь, если централизовано управлять выбором пути каждого водителя. Другой спо­соб — оптимальное взимание платы за проезд с дорог.

В перспективе плату за проезд по дорогам можно будет рассчиты­вать исходя из информации о тре­ках автомобилей. Можно оснастить все автомобили GPS или ГЛОНАСС-навигаторами, позволяющими опре­делять каждые 5 минут положение ав­томобиля с точностью до нескольких метров. Каждая дорога имеет свой та­риф: за проезд по дороге начисля­ется плата, подобно плате за разго­вор по мобильному телефону. В кон­це месяца приходит счет. Этот же ме­ханизм позволяет вводить и субси­дии для некоторых дорог.

Можно показать, что при весьма об­щих условиях существует такой спо­соб взимания платы за проезд, кото­рый приводит к социальному опти­муму. В основе этого подхода лежит метаигровой синтез: меняя «правила игры» (вводя платы за проезд опре­деленным образом) можно так по­добрать эти «правила», чтобы соци­альной оптимум в задаче без плат­ных дорог соответствовал (устойчи­вому) равновесию Нэша — Вардропа (т.е. транспортная система со време­нем именно в это равновесие и при­ходит) в задаче с платными дорога­ми. Мировой опыт (например, Син­гапура) подсказывает, что потенци­ально это очень эффективный и малозатратный способ «выжать макси­мум» из имеющейся транспортной сети при сложившихся потребно­стях в перемещениях (матрице корреспонденций).

Зачем нужны и чем важны выделенные полосы?

Вернемся к идее «пересаживания» водителей с личного транспорта на общественный. Хотелось бы пере­саживать водителей на обществен­ный транспорт с помощью рыноч­ных механизмов. Например, регу­лируя цену на топливо и стоимость проезда в общественном транспор­те. В частности, вводя большие пла­ты за проезд по дорогам на личном транспорте или повышая цену на то­пливо и удерживая цену за проезд на общественном транспорте мож­но сделать использование личного транспорта совершенно невыгод­ным — понятно, что это плохие способы решения проблемы.

Другой, более адекватный, способ — выделенные полосы. Ужесточение штрафов за неправильную парковку. Платные парковки. Именно по этому пути сейчас идет развитие Москвы. Расчеты показали, что симбиоз ука­занных способов при весьма общих условиях позволяет оптимальным об­разом расщеплять транспортные потоки, причем это можно делать адаптив­но. Но не менее важно здесь и то, что эффект от этого расщепления оказывается наиболее значимым по сравнению со многими другими способами быстро побороть пробки в Москве. Другими словами, выбранный в Москве путь, связанный с попыткой оптимально перерас­пределить потоки между личным и обществен­ным транспортом, выглядит, на наш взгляд, впол­не оптимистичным. Конечно, любая из указан­ных мер при бездумном применении может не помочь, а усугубить ситуацию. Именно по этому важно уметь просчитывать эффекты от тех или иных мер заранее.

Компьютерное моделирование транспортных потоков

Необходимо отметить, что все транспортные и социально-экономические последствия внедре­ния тех или иных мер на транспортной сети мож­но и нужно оценивать. Особую роль здесь играют прикладные (компьютерные) транспортные модели, которые, как правило, являются основ­ным инструментальным средством городского транспортного планирования.

Такие модели интегрируют разнообразные данные о транспортном спросе и предложении и помогают путем сравнения расчетов множе­ства вариантов принимать решения относитель­но развития транспортной инфраструктуры. То есть мы можем путем численного моделирова­ния сравнивать издержки пользователей в рав­новесиях и смотреть, какой проект приводит к наименьшим средним издержкам.

Важным преимуществом использования ком­пьютерных транспортных моделей становится возможность рассмотрения и количественной оценки всей транспортной системы. Это важно, так как всегда есть выбор из множества инфра­структурных проектов, и необходимо понять, какой из них стоит реализовывать.

Использование комплексных моделей, учи­тывающих различные типы транспорта и пред­почтения населения, позволяет оценивать про­екты и ранжировать их. Также возможно (с помощью той же методологии сравнения равно­весий) оценивать не только инфраструктурные проекты, но и практически любое воздействие на транспортную систему, будь то введение платы за проезд или запрет на въезд в центр горо­да. Существуют и другие методологии по коли­чественной оценке проектов.

На настоящий момент не существует единой утвержденной методики оценки эффективно­сти транспортных инвестиционных проектов во взаимоувязке с транспортным моделирова­нием. При этом методологии, имеющие какой-либо правовой статус в России (т.е. использова­ние которых предписывается или рекомендует­ся тем или иным законодательным актом), либо неполны, либо устарели.

Также стоит отметить, что наиболее серьезная проблема при построении таких комплексных моделей — недостаток данных, требуемых для их калибровки.

Почему в большинстве крупных городов есть пробки?

Пусть имеется некоторый крупный город. За­дан граф транспортной сети этого города с хо­рошими показателями связности, доступности, надежности. Тогда, если мы введем среднее чис­ло автомобилей, находящихся на транспортном графе, и станем плавно это число менять, то бу­дем наблюдать довольно резкий и масштабный спад времени в пути среднестатистического пользователя в малой окрестности некоторого порогового значения. Этот феномен наблюда­ется в целом ряде различных моделей (TASEP типа, на основе сетей Джексона и др.). Иногда в этом контексте говорят о фазовом переходе.

Математически строго это можно показать лишь в самых простых (модельных) случаях (см., например, приложения Бланка и Замяти­на — Малышева в учебном пособии, упомина­емом выше [1]). Однако можно поставить чис­ленный эксперимент. По мнению В. П. Марты­нова (ЦОДД) для Москвы критическое значе­ние лежит в диапазоне 450–500 тыс. автомо­билей. Другими словами, если сейчас, в данный конкретный момент, на дорогах Москвы мень­ше 450 тыс. автомобилей, то заторы практиче­ски отсутствуют, Яндекс.Пробки показывают 3–4 балла и все счастливы. Если же число автомоби­лей увеличится до 500 тыс., то практически все они стоят в заторах. Обсуждаемый резкий рост загруженности дорог в зависимости от числа пользователей (для личного транспорта) хоро­шо виден на соответствующем графике рис. 1.

Тем не менее, типичным также будет нали­чие определенной довольно большой доли ре­бер графа транспортной сети, загрузка которых практически не чувствительна к такому увеличению. В действительности многие крупные го­рода как раз находятся где-то на границе этого «фазового перехода». Причина проста и имеет в своей основе принцип неподвижной точки в форме теоремы Брауэра.

Если рассматривать эволюцию города с точки зрения появления новых жителей, новых рабо­чих мест, строительства новых дорог, то можно условно считать, что новый житель будет пользо­ваться личным автомобилем в городе, если выи­грыш от пользования не ниже некоторого уров­ня, определяемого, например, выигрышем от ис­пользования альтернативы в виде обществен­ного транспорта. Поскольку в малой окрестно­сти критического значения происходит резкое увеличение издержек для личного транспорта (см. рис. 1), то у большинства новых потенциаль­ных пользователей транспортной сети пропада­ет желание использовать автомобиль. Аналогич­но можно пойти и в обратную сторону.

Идеи развития общественного транспорта с целью улучшения всей транспортной сети не новы и вполне естественны. О них можно про­читать в научно-популярной книге Вукана Вучека «Транспорт в городах, удобных для жиз­ни» [6] или в переводе лекции Фила Гудвина на «Полит.ру» [7]. Мы лишь пытались подчеркнуть, что основные тезисы, содержащиеся в этих ра­ботах и в нашей статье, опираются не только на интуицию, но и на математические модели, пусть иногда и простые.

1. Гасников А.В., Кленов С.Л., Нурминский Е.А., Холодов Я.А., Шамрай Н.Б. Введение в математическое моделирование транспортных потоков. М.: МЦНМО, 2012.

2. Sandholm W., Evolutionary Implementation and Congestion Pricing, Review of Economic Studies, 2002, V.69, P. 667—689.

3. Braess D. Über ein Paradoxon aus der Verkehrsplanung, Unternehmensforschung, 1969, V. 12, P. 258–268.

4. Valiant G. and Roughgarden T. Braess’s Paradox in Large Random Graphs, Random Structures and Algorithms, 2010, V.37, P.495—515.

5. Roughgarden T. On the severity of Braess’s Paradox: Designing networks for selfsh users is hard, Journal of Computer and System Sciences, 2006, V.72, P.922—953

6. Вукан Р. Вучик. Транспорт в городах, удобных для жизни. М.: Изд-во «Территория будущего», 2011. В оригинале: Vukan R. Vuchic. Transportation for Livable Cities.

7. Решение проблемы пробок. Лекция британского ученого-транспортника Фила Гудвина (Phil Goodwin) в переводе М. Блинкина. 2009. www.polit.ru/article/2009/03/24/probki/