Арнольд, гёмбёц и черепаха

В последнюю неделю ноября 2014 года в Университете Торонто (Канада) проходила конференция «Наследие Владимира Арнольда», посвященная самым разным областям математики. Выпускница физфака МГУ Дарья Моргачёва побывала на научно-популярном докладе венгерского математика Габора Домокоша — изобретателя изящного математического объекта, названного «гё́мбёц», — и задала несколько вопросов.

Всем известна детская игрушка-неваляшка: как бы ее ни наклоняли, она всегда возвращается в исходное положение. Это необычное свойство называется моно-моностатичностью: неваляшка имеет одно устойчивое положение равновесия, обычное, и одно неустойчивое: если поставить ее на голову (малейшее отклонение от вертикали переведет игрушку в состояние устойчивого равновесия). Но неваляшка неоднородна: на дне ее находится груз, а сверху она пустая. Можно ли сделать однородный моно-моностатический объект?

Как ни странно, вопрос, формулируемый столь просто, оказался весьма нетривиальным. Решение нашли в 2006 году два венгерских инженера — Габор Домокош (Gábor Domokos) и Петер Варконьи (Péter Várkonyi).

Двумерная формулировка задачи

Габор Домокош получил инженерное образование в Венгрии, но интересовался скорее не практической, а математической стороной инженерных задач. В конце 1980-х благодаря политическим преобразованиям на родине у Домокоша появилась возможность посетить США, где он год проработал в Корнеллском университете вместе с другими инженерами, имеющими схожие математические интересы. Там Габор Домокош познакомился с Энди Руиной (Andy Ruina) и Джимом Пападопулосом (Jim Papadopoulos) — «инженером, не имеющим академической должности, но имеющим академические интересы», как отзывался о нем сам Домокош. Об экспериментах Пападопулоса, положивших начало истории создания гёмбёца, и рассказывал Габор Домокош в своей лекции:

— Джим заинтересовался положениями равновесия разных тел, изготовленных из фанеры (плоских, с однородной массой) и проволоки (масса которых распределена по контуру). Например, квадрат имеет четыре устойчивых положения равновесия (он может стоять на каждой из своих сторон) и положения неустойчивого равновесия (стоя на каждой из вершин так, чтобы диагональ квадрата была перпендикулярна горизонтальной поверхности). Эллипс находится в положении устойчивого равновесия, когда его длинная ось вытянута по горизонтали, и в неустойчивом, когда его короткая ось горизонтальна; он симметричен, поэтому имеет два устойчивых и два неустойчивых положения равновесия. Джим пришел к выводу: не важно, какую выпуклую фигуру вы нарисуете, она имеет минимум столько положений устойчивого равновесия, сколько имеет эллипс, — два.

В 1994 году Габор Домокош, Энди Руина и Джим Пападопулос опубликовали статью в Journal of Elasticity [1], где доказали, что двумерный объект, имеющий только одно состояние устойчивого и одно состояние неустойчивого равновесия, не может существовать.

Обед с Арнольдом

— Впервые я встретился с Владимиром Арнольдом в 1995 году на Интернациональном конгрессе индустриальной и прикладной математики в Гамбурге, — рассказывал Габор Домокош в своей лекции. — На конгрессе, ставшем крупнейшим математическим событием тех лет, присутствовало свыше двух тысяч математиков из разных стран.

Конгресс был разбит на 40 параллельных сессий, таким образом в каждый момент времени в течение дня я мог выбрать один из 40 докладов, каждый из которых длился 15 минут. Количество коротких докладов и их тематическое разнообразие привели к тому, что в голове всё перемешалось. К счастью, на этом конгрессе были также три 45-минутных лекции от приглашенных математиков, одним из которых оказался Владимир Игоревич Арнольд. На его лекции присутствовали все две тысячи участников конгресса. Сначала, когда Арнольд только начал говорить, никто его не слушал, в аудитории было шумно. Но постепенно люди начали затихать. Арнольд упоминал о какой-то теореме Якоби (начало лекции я не уловил). Он рассказывал о разных задачах — дифференциальная геометрия, оптика, механика. Каждая задача имела отношение к числу четыре. Четыре — в этой задаче, четыре — в следующей, четыре, четыре, четыре. Тогда я вспомнил о том, что в нашей статье также было доказано, что плоское тело имеет четыре положения равновесия — два устойчивых, два неустойчивых. Это заставило меня задуматься: может быть, и наша задача имеет отношение к этой теореме?

Организаторы конференции предложили участникам необычную услугу: заплатив 30 немецких марок, вы могли сесть во время обеда за один стол с любым выбранным человеком. Я захотел спросить Арнольда о своей задаче и, хотя 30 марок были для меня большими деньгами, решил, что такой шанс упускать нельзя, пусть ради такого обеда и придется пожертвовать ужином. (Смеется.) Обед меня разочаровал — организаторы явно больше заботились о своей выгоде, чем о комфорте участников, и за одним большим круглым столом сидело более десяти человек. У каждого была статья, которая непременно требовала обсуждения. У меня статьи не было, и я не решился поговорить с Арнольдом. Он даже сам обратился ко мне: «Вы заплатили 30 марок за возможность сесть со мной за одним столом, о чем же Вы хотели со мной поговорить?» — но я ответил, что хотел просто послушать. И все-таки через день мне удалось с ним побеседовать. Разговор длился не более 15 минут.

Я рассказал о фигурах из фанеры и проволоки и о том, что они имеют не менее двух положений устойчивого и не менее двух неустойчивого равновесия, в сумме четыре. Арнольд выслушал меня и задумался. Через пять минут я спросил его, хочет ли он знать, как мы это доказали, на что он ответил: «Конечно, я знаю, как вы это доказали. Но это не то, о чем я думаю. Вопрос в том, имеет ли это отношение к теореме Якоби или нет». Через какое-то время он продолжил: «Я думаю, что теорема Якоби и ваша задача связаны, но связь непрямая. Я думаю, что есть еще одна теорема, которая включает теорему Якоби и вашу задачу. Я мог бы сказать больше, если бы вы рассказали мне о трехмерной версии вашей задачи». Я с гордостью описал ему контрпример — тело, имеющее одно положение устойчивого равновесия: срезанный цилиндр.

На что Арнольд заметил: «Вы, конечно, понимаете, что это не контрпример! Главный результат вашей работы состоит не в том, что тело имеет два и больше устойчивых положений равновесия, а в том, что оно имеет четыре положения равновесия. И ваш цилиндр имеет четыре положения равновесия — одно устойчивое и три неустойчивых. В то же время тело с меньшим числом положений равновесия может существовать. Напишите мне письмо, когда найдете его».

Колумб, яйцо и мясной пирожок

Доказательство существования такого тела и поиск его формы заняли десять лет. В 2006 году Габор Домокош и Петер Варконьи опубликовали две статьи: в одной доказали существование моно-моностатических тел, в другой описали форму реального гёмбёца.

Идея формы гёмбёца основывается на нескольких интуитивных предположениях. Первое: его максимальная длина равна минимальной, как у сферы. Отсюда название, взятое из венгерского языка: gömböc — круглые мясные пирожки. Второе: малые изменения формы объекта могут привести к возникновению новых положений равновесия. Это можно проиллюстрировать легендой о «колумбовом яйце». По преданию, Христофор Колумб, возвратившись в Испанию после открытия Америки, сидел на званом ужине, устроенном в его честь. Кто-то из присутствующих заявил: «Открыть Америку очень просто, это мог бы сделать каждый», — на что Колумб предложил гостям поставить яйцо вертикально на стол. Когда он убедился, что никто не может этого сделать, то примял яйцо с одного конца и поставил его.

Для построения гёмбёца Домокош и Варконьи, по сути дела, меняли поверхность шара, отслеживая два параметра: выпуклость и положение центра тяжести. Конечно, существует бесконечное множество тел, обладающих свойствами моно-моностатичности, гёмбёц лишь одно из них.

Наконец после долгого рассказа Габор Домокош демонстрирует аудитории гёмбёц. Но перед этим он достает из кармана брюк платок, вытирает стол. Видя недоумение аудитории, объясняет:

– Вы не поверите, но даже пыль на столе может изменить поведение гёмбёца. Точность его формы очень важна. Если ошибиться на долю миллиметра, количество положений равновесия изменится. Если хотя бы немного изменить параметры фигуры, количество положений равновесия увеличится. Забавный диалог однажды у меня был с компанией, которой я заказал первый гёмбёц. На вопрос, сделали ли они нужную форму с одним положением устойчивого и одним положением неустойчивого равновесия, они ответили: «Мы сделали даже лучше – наша форма имеет 16 положений устойчивого равновесия!»

– Почему бы Вам не пользоваться технологиями 3D-печати? – спрашивают из зала.

– На самом деле эти технологии в настоящее время не так уж развиты. 3D-печать дискретна, материал наносится слоями. То есть полученная форма будет иметь небольшие «ступеньки», которые, возможно, визуально не искажают форму, но также будут менять количество устойчивых положений гёмбёца.

Время собирать камни

После доклада удалось задать Габору Домокошу несколько вопросов в частном порядке.

– Интересуют ли вас биологические системы? Ведь гёмбёц имеет одно устойчивое положение равновесия, одно неустойчивое, – это очень красивая иллюстрация таких систем.

– Да, не только в биологии, такие системы также обычны для экономики и механики. Для меня важнее всего именно вопрос о существовании такого объекта, и его задал Арнольд. Понимаете, гёмбёц очень знаменит сейчас. Найти эту форму, доказать существование такого объекта по силам многим. Но задать вопрос, найти связь… У меня было всего два разговора с Арнольдом, и оба не больше десяти минут. Они дали мне очень много. Мало кто может понимать чистую математику, но также мало тех, кто мог бы видеть связь между физическими, биологическими объектами и математикой. Математика – язык природы, и редки люди, которые говорят на этом языке. Арнольд был одним из них.

— Вы сказали, что искали решение десять лет. Что Вы делали все эти годы? Как работали над этой задачей?

— Наука так устроена: в большинстве случаев ты проигрываешь, но однажды выигрываешь. Ученый должен быть готов к ежедневным трудностям, неудачам. Именно они постепенно приводят к решению. За это время я сделал всё, что можно было сделать для решения задачи. Проводя отпуск с женой на Родосе в Греции, я подумал: вероятно, искомое тело можно найти среди камней на пляже. Мы стали собирать камни. В течение недели каждое утро приходили на пляж, собирали камни, днем рассматривали их, записывали в таблицу число устойчивых и неустойчивых точек для каждого камня, вечером я возвращал камни на место. За это время мы собрали две тысячи камней. Эта была сумасшедшая идея! Оказалось, что среди камней нет нужных форм.

— Над какой задачей вы работаете сейчас?

— Когда я второй раз встретился с Арнольдом и подарил первый сделанный гёмбёц (Gömböc 001), рассказав при этом о своих результатах, он обратил внимание на мою табличку, в которой были классифицированы камни по числу положений равновесия. Согласно ей, большинство камней имеют два положения устойчивого и два неустойчивого равновесия и близки по форме к эллипсоидам. Арнольд высказал предположение, что, скорее всего, естественная абразия (то есть постепенное истирание камней) уменьшает количество положений равновесия. Его идея оказалась верной, однако, достигнув двух положений устойчивого и двух неустойчивого равновесия, камень останавливается. Уменьшить количество положений равновесия дальше — очень-очень маловероятное событие. Поэтому гёмбёц, имеющий минимальное число положений равновесия, почти никогда не встречается в природе. Британский физик сэр Майкл Бэрри (Sir Michael Berry) как-то сказал: Gomboc exists in Nature but only as a dream («Гём-бёц существует в природе, но только как мечта»). Тем самым сэр Бэрри хотел подчеркнуть, что каждый камень на морском берегу стремится к форме гёмбёца, но не может ее достичь. Если бы вы спросили камень, хочет ли он быть гёмбёцем, он бы ответил: «Конечно, хочу!» Почему так получается — задача, над которой я сейчас работаю [5].

Что разумно, то и действительно

В 2008 году Домокош и Варконьи опубликовали еще одну статью [4] — о форме черепах. Что произойдет с черепахой, если она случайно перевернется на спину? Как ей вернуться в нормальное положение? Оказалось, что среди 200 существующих на Земле видов черепах есть длиннолапые (они пользуются лапами, чтобы перевернуться со спины на брюшко) и коротколапые (вернуться в исходное положение им помогает форма панциря, близкая к форме гёмбёца). Слова Гегеля «Всё, что разумно, действительно, и всё, что действительно, разумно» в очередной раз находят подтверждение благодаря красивой связи между придуманным объектом и формой, получившейся в процессе эволюции.

1. Domokos G., Papadopulos J., Ruina A. Static equilibria of planar, rigid bodies: Is there anything new? // Journal of 1994.

2. Várkonyi P.L., Domokos G. Static equilibria of rigid bodies: dice, pebbles and the Poincare-Hopf Theorem // J. Nonlinear Sci. 2006.

3. Várkonyi P.L., Domokos G. Mono-monostatic bodies: the answer to Arnold’s question // Mathematical 2006. 28(4). P 34–38.

4. Domokos G., Varkonyi P.L. Geometry and self-righting of turtles. 2008.

5. Domokos G. Monotonicity of spatial equilibrium points evolving under curvature-driven fows // J. Nonlinear DOI 10.1007/s00332-014-9228-3 — http://link.springer.com/article/10.1007/s00332-014-9228-3