И стоит ли этим доказательствам верить

Самому молодому лауреату Нобелевской премии по экономике Кеннету Эрроу приписывают авторство теоремы о невозможности демократии — мол, он математически доказал, что единственная устойчивая система управления предусматривает диктатуру. Удивительно, но находятся неглупые люди и даже люди с экономическим образованием, которые всерьез считают, что ученый мог математически доказать что-то про демократию и диктатуру. Многие просто не задумываются, что вообще можно и что нельзя «математически доказать». Между тем ответ очевиден: математически можно доказать только математические утверждения.

Никакие утверждения по политологии, или по экономике, или даже по физике математически доказать нельзя.

Все эти (и многие другие) науки активно используют математический аппарат. То есть ученые моделируют исследуемые ими феномены, отождествляя то или иное явление с его математическим описанием — например, в терминах оптимизационной задачи или дифференциального уравнения. А уж потом используют разработанный математиками аппарат — в первую очередь понятие «доказательство», то есть правила, по которым из одних утверждений разрешается выводить другие. Часто доказательствами утверждений в рамках моделей занимаются сами экономисты (Эрроу действительно в рамках своей модели математически доказал свою теорему), но в этот момент, сделав необходимые модельные предположения и сформулировав четкую математическую задачу, они действуют не как экономисты, а как математики. Чтобы работа получилась по экономике, они должны быть готовы обосновывать свои предположения.

Работа только тогда станет вкладом в экономическую науку, когда научная общественность согласится с адекватностью выбора автором модели. Как предсказать, какие модели будут приняты научным сообществом, а какие нет? Тут нет общего критерия. Например (я сознательно опускаю важные, но слишком технические детали), в экономике принято считать статистическую зависимость доказанной (речь не идет о доказательстве в математическом смысле этого слова), если вероятность ошибки не превышает 5%, и уж точно доказанной, если она не превышает 1%. Почему именно такие цифры, а не, скажем, 0,5%, или 0,1%, или 0,001%? Математического ответа не существует, это вопрос научной традиции. Любой безработный с образованием восемь классов может заявить, что он считает научно доказанным только статистическую зависимость с вероятностью ошибки не более одной миллионной — и формально экономистам нечего будет возразить.

Кроме одного: подавляющее большинство авторитетных экономистов принимают общие методы экономической науки и поэтому считают, что экономические агенты более или менее рационально принимают решения. Точно ли реальное поведение экономических агентов вписывается в предположение о рациональности? Конечно, нет. Допустимо ли делать такое предположение, если понятно, что оно никогда точно не описывает поведение агентов? Зависит от ситуации. Здесь уместна аналогия со школьной физикой: например, формула для расчета времени падения объектов с определенной высоты точно описывает ситуацию только при отсутствии сопротивления воздуха, то есть никогда. Это не значит, что формулу невозможно применять, но сама формула не подскажет, когда ее применение разумно, а когда нет. Точно так же и в экономике: чаще всего мы предполагаем, что экономические агенты рациональны, пренебрегая ограниченностью их возможности принимать оптимальные решения; такое пренебрежение иногда более оправданно, например, если речь идет о взаимодействии крупных фирм (они могут себе позволить десятки штатных экономистов, в том числе специалистов по теории игр), иногда менее оправданно, например, если речь идет о поведении подростка в дешевом супермаркете. Но это не повод отказываться от теории.

Или все-таки повод? Экономические теории гораздо хуже описывают поведение экономических агентов, нежели физические теории описывают поведение объектов внимания физиков. Может, экономистам будет честнее вообще обходиться без математических моделей? В конце концов, ни Давид Рикардо, ни Карл Маркс, ни другие классики XIX века не выписывали лагранжианов, а излагали свои теории вербально.

К сожалению, в XXI веке оставаться в рамках общих утверждений невозможно. Предметы внимания экономистов стали столь сложными, что при вербальном изложении невозможно убедиться в адекватности предположений и выводов, в их внутренней непротиворечивости. И тут математический аппарат незаменим, ведь на математическом языке намного легче понять логику изложения, описать причинно-следственные связи и в конечном счете убедиться в непротиворечивости выводов.

Конечно, Кеннет Эрроу не доказал невозможности демократии. Он лишь указал условия, которым ни одна система принятия коллективных решений, кроме диктатуры, удовлетворять не может. Ну, значит, от некоторых условий придется отказаться.

Обманчивая точность: как доказать невозможность демократии