Оригинал материала
Эпидемиология и бонистика
Одна из ключевых проблем при изучении эпидемий — учет передвижений людей. Классические диффузионные модели хорошо описывают эпидемии прошлого, но ломаются с появлением быстрых и массовых путешествий на большие расстояния: автомобилем, поездом и тем более самолетом.
Красивый цикл работ в этой области был сделан в 2000-х годах Ларсом Хуфнагелем (Lars Hufnagel) из Института динамики и самоорганизации (Max-Planck-Institut für Strömungsforschung, Гёттинген) и Дирком Брокманном (Dirk Brockmann), также работавшим в Гёттингене, а затем переехавшим в США, в Северо-Западный университет (Northwestern University, Иллинойс). Для того чтобы оценить интенсивность путешествий людей, они использовали данные о перемещениях банкнот. Данные для этого были взяты с неофициального сайта по отслеживанию американских купюр «Где Джордж?» [1] (рис. 1).
Где Джордж?
Сайт сделал американец Хэнк Эскин, «потому что это прикольно и никто раньше такого не делал» [1, FAQs]. Идея очень проста: кто угодно может достать купюры разного достоинства из своего бумажника и занести в простую форму их номера и почтовый индекс места, где он находится.
Еще можно поставить на эти банкноты печать с адресом сайта. Легальность такого действия неочевидна — американский закон запрещает портить банкноты, но «портить» определяется как делать непригодными для использования; авторы сайта очень аккуратно воздерживаются от каких-либо рекомендаций, вместо этого приводя ссылку на соответствующую страницу американского Казначейства (мол, sapienti sat). Они не продают штампов (в первые годы — продавали, однако это вошло в противоречие с законом о запрете рекламы на деньгах), но намекают, что их легко заказать в Интернете или в писчебумажном магазине по соседству.
Сайт был открыт 23 декабря 1998 года, и за прошедшие почти двадцать лет на нем было зарегистрировано 270 млн банкнот на сумму 1,45 млрд долл. (это 0,13% от общей суммы долларов в обращении), из них 31 млн больше одного раза. На сайте зарегистрировалось более 8 млн пользователей, три четверти из которых занесли хотя бы по одной купюре; в среднем зарегистрированный пользователь занес номера 37 купюр; примерно четверть купюр занесли незарегистрированные пользователи.
Эта статистика показывает, что идея понравилась пользователям Интернета. Видимо, в значительной степени — как всегда — сказался эффект соревнования: на сайте ведется аккуратный подсчет активности всех «джорджеров», как они себя называют. Лидер (Девушка Игуана из города Пиджен-Фордж, штат Теннесси, — ник был взят в честь домашней игуаны, к сожалению уже покойной) за пятнадцать лет, с марта 2002 года, занесла номера более миллиона банкнот, из которых примерно 300 тыс. (26%) побывали на сайте не один раз.
В среднем получается чуть более 20 банкнот в день; можно предположить, что Девушка Игуана, как и другие лидеры, работает кассиром или еще как-то связана с оборотом наличности, поскольку для обычного человека такой поток представляется слишком большим. Кроме того, на сайте функционирует форум, на котором есть разделы и про распространение купюр, и про их куплю-продажу (никому не нужна банкнота с номером 88844448 или 90003000? А 19681967? А начинающиеся с 666? Или с четырех нулей? Тогда вам туда…).
Доллары и вирусы
Описав эпидемию атипичной пневмонии 2003 года с использованием карты маршрутов международных авиалиний [2], авторы осознали, что, хотя их модель хорошо работает в большом масштабе, но для описания распространения эпидемии на уровне одной страны, скажем, США, надо учитывать и другие виды транспорта, а доступных данных для этого нет.
И тогда они обратили внимание на сайт, на котором отслеживается перемещение бумажных денег. Ясно, что это было практически то что надо: передача купюры происходит при личном контакте, как и передача вируса. Авторы написали Хэнку Эскину и, так не дождавшись ответа, соорудили простой скрипт, который начал выкачивать данные с сайта [3]. Эскин заметил необычный всплеск активности и закрыл доступ, на всякий случай, для всего Гёттингена, однако данные о миллионе перемещений уже были скачаны, и этого оказалось достаточно для статистического анализа [4].
Как ожидалось, расстояния, на которые банкноты передвигаются за небольшое время, были распределены по степенному закону (рис. 2 слева). Такое распределение характерно, в частности, для популярной модели «полета Леви» со степенными интервалами между изменениями направления. Однако при более внимательном рассмотрении оказалось, что динамика распространения банкнот от исходной точки противоречит и этой модели, и простой двумерной диффузии (рис. 2 справа): они разбегаются слишком медленно.
Рис. 2. Путешествия Джорджа и его друзей [2]. Слева: Распределение расстояний, на которые банкноты перемещаются за 1–4 дня. На вкладке — то же распределение в зависимости от исходной точки. Справа: вероятность выйти за круг с радиусом 20 км за данное время. Типы точек: □— все города, ∆ — большие города, ◊ — средние города, ○ — малые города. Пунктир: синий — наблюдаемая экспонента t–η (с показателем η = 0,6), черный — экспонента, ожидаемая при двумерной диффузии (η = 1,0), красный — скорость распространения в модели полета Леви (η = 3,3)
Авторы предположили, что дело в том, что перемещения совершаются не непрерывно друг за другом и необходимо учитывать время, которое купюра проводит в бумажнике очередного владельца; оно также распределено по степенному закону. Модель, учитывающая оба параметра — длину перемещения и время между перемещениями, оказалась очень точной.
А теперь, раз мы знаем статистику контактов жителей США, мы можем подставить ее в стандартные эпидемиологические модели, учитывающие также инкубационный период болезни, среднюю плотность контактов, вероятность заражения при контакте, и получить, например, предсказание того, как будет развиваться эпидемия свиного гриппа 2009 года (по числу заболевших в разных географических точках) — не задним числом, а в реальном времени [5].
Карта путешествий
Рис. 3. Города и доллары [6]. Слева: горизонтальная ось — приток банкнот, вертикальная ось — отток банкнот. Справа: горизонтальная ось — население города, вертикальная ось — приток банкнот. Двойные логарифмические координаты; цвет точек — количество наблюдений. Пунктиром показана линейная зависимость
Но данные о перемещениях банкнот можно использовать и для того, чтобы понять, как вообще устроены взаимодействия между популяциями. Вот, например, простой факт: чем больше город, тем мощнее поток проходящих через него денег, причем приток равен оттоку (рис. 3) [6]. Можно посчитать суммарные потоки банкнот между штатами и нарисовать кластерное дерево, на котором ближе всего будут штаты, интенсивно обменивающиеся долларами, потом чуть дальше и так далее (рис. 4).
Рассмотрим граф, в котором вершинами будут города, а весами на ребрах — частоты перемещений банкнот между этими городами. Разобьем этот граф на модули, т. е. такие плотные подграфы, в которых суммарный вес ребер велик, а между которыми, как правило, проходят ребра малого веса.
Ясно, что это зависит от конкретных определений плотности подграфа; проблема в том, что для любых содержательных определений задача вычислительно очень сложна и не может быть решена точно — мы не можем построить оптимальное разбиение графа на компоненты за разумное время. Поэтому используют различные эвристические и вероятностные алгоритмы, которые не гарантируют точного решения, но строят хорошее приближение к нему. Один из вероятностных алгоритмов использовал всё тот же Дирк Брокманн в своей следующей работе [7].
Первая хорошая новость: полученные модули хорошо проецируются на географическую карту. Алгоритм ничего не знает о географии, а учитывает только потоки банкнот; вполне могло бы получиться, что города кластеризовались бы, например, по экономическим показателям. Вторая: хотя при каждом запуске вероятностного алгоритма получаются, вообще говоря, разные модули, они похожи. Естественно считать, что те границы, которые устойчиво воспроизводятся при (почти) каждом разбиении, и являются правильными (рис. 5 слева).
Теперь, если оставить только важные ребра, мы увидим, что структура графа — это сеть, состоящая из «звезд» с центрами, как правило, в больших городах; в каждом модуле есть один или несколько таких центров.
Sic transit
В истории науки бывает так, что какой-то красивый прием оказывается полезным очень недолго, потому что его вытесняют новые методы. Так и с моделированием передвижений людей при помощи данных о перемещении банкнот — сейчас для этой цели проще всего использовать информацию от сотовых телефонов [8]. Это хорошо работает даже в бедных странах, где риск эпидемий особенно велик, и такой подход был успешно применен, например, для анализа эпидемии холеры на Гаити [9] и распространения малярии [10] и краснухи [11] в странах Африки.
Михаил Гельфанд
2. Hufnagel L., Brockmann D., Geisel T. Forecast and control of epidemics in a globalized world // Proc. Natl. Acad. Sci. 2004. 101: 15124-15129.
3. Brockmann D. The origin of Wheresgeorge research
4. Brockmann D., Hufnagel L., Geisel T. The scaling laws of human travel // 2006. 439: 462–465.
5. Computational quantitative projections for H1N1 flu dynamics in the United States (June 3, 2009).
6. Brockmann D., Theis F. Money circulation, trackable items, and the emergence of universal human mobility patterns // IEEE Pervasive Computing. 2008. 7: 26–35.
7. Thiemann C., Theis F., Grady D., Brune R., Brockmann D. The structure of borders in a small world // PLoS One. 5: e15422. DOI: 10.1371/journal.pone.0015422.
8. Williams N. E., Thomas T. A., Dunbar , Eagle N., Dobra A. Measures of human mobility using mobile phone records enhanced with GIS data // PLoS One. 2015. 10:e0133630. DOI: 10.1371/journal.pone.0133630.
9. Bengtsson L., Gaudart J., Lu X., Moore S., Wetter E., Sallah K., Rebaudet S., Piarroux R. Using mobile phone data to predict the spatial spread of cholera // Sci. Rep. 2015. 5: 8923. DOI: 10.1038/srep08923.
10. Buckee C. O., Wesolowski A., Eagle N. N., Hansen E., Snow R. W. Mobile phones and malaria: modeling human and parasite travel // Travel Infect. Dis. 2013. 11: 15-22. DOI: 10.1016/j.tmaid.2012.12.003.
11. Wesolowski A., Metcalf C. J., Eagle N., Kombich J., Grenfell B. T., Bjørnstad O. N., Lessler J., Tatem A. J., Buckee C. O. Quantifying seasonal population fluxes driving rubella transmission dynamics using mobile phone data // Proc. Natl. Acad. Sci. 2015. 112): 11114-11119. DOI: 10.1073/pnas.1423542112.