Парадоксы вероятного
Давайте выбирать числа. Для простоты - целые, больше нуля числа. Натуральные числа.
Наугад, случайным образом. Выберем два числа. A и B. Какова вероятность что первое число больше второго?
Думаю, даже едва знакомый с математикой человек быстро ответит - одна вторая. Пятьдесят процентов.
Ведь два числа, первое и второе - одинаковы (не по величине, а по своему "содержанию"). Вероятность что первое больше второго и вероятность что второе больше первого - одна и таже. Вероятность, что они совпали - ничтожно мала, ею можно пренебречь.
Я сейчас покажу, что это - не так. Докажу, что
1. с вероятностью 1 (100%) первое меньше второго
2. с вероятностью 1 (100%) - второе меньше первого.
Пусть мы выбрали первое число А. И пусть оно равно L. Меньше чем L (мы переобозначили A в L чтобы показать - теперь-то мы его знаем, мы его уже выбрали) конечное число чисел. Всего L штук (может на единицу меньше, это не важно). А больше L - бесконечное число чисел. Ведь натуральный ряд чисел не ограничен. За всяким биллионом есть биллион биллионов.
Какова вероятность, что выбирая второе число B мы попадем в конечное множество чисел (от 1 до L)? Конечно, она гораздо меньше, чем вероятность выбрать B из бесконечного множества чисел (от L до бесконечности). В сравнении с бесконечностью конечное - неотличимо от "ничто", от нуля. Поэтому вероятность того что В меньше А - нулевая. Значит В - больше А. Что и было обещано.
Рассуждая точно также получим и пункт 2. Только начнем рассуждение с величины В.
Теперь у нас два противоположных утверждения, каждое из них очевидно неверно, но доказаны - оба. Что делать?
Я не буду рассказывать, как пытаются сгладить этот и похожие парадоксы в математических книгах. Мне больше нравится такое объяснение:
Если мы случайным образом выбрали два натуральных числа, то вероятность того, что мы их можем сравнить - равна нулю. Ведь оба этих числа - очень и очень большие (потому что натуральных чисел безгранично много и конечное - меньше бесконечного).
Вероятность того, что первое число больше биллиона биллионов - равна 1. Сто процентов! Потому что за биллионом биллионов и даже за триллиардом биллионов биллионов стоит бесконечно больше чисел, чем до них. Число атомов во вселенной ничто по сравнению с бесконечностью. Поэтому случайно выбранное число точно окажется столь огромным, что нам не хватит бумаги его записать.
Чтобы просто перечислить его цифры не хватит времени жизни человека. Да и всей вселенной.
Второе выбранное число будет таким же огромным.
И как же мы их сравним? Нет никакого способа сравнивать такие числа, к тому же выбранные случайно.