Карен Уленбек — пионер теории инстантонов

Решением Норвежской академии наук и словесности лауреатом Абелевской премии 2019 года стала 76-летняя член Американской академии наук, профессор Техасского университета (Остин, США) Карен Уленбек (Karen Uhlenbeck). Американский математик получила высшую математическую награду за «новаторские достижения в геометрической теории уравнений в частных производных, теории калибровочной инвариантности, теории интегрируемых систем и за фундаментальное влияние, которое эти работы оказали на анализ, геометрию и математическую физику в целом». Церемония награждения состоится в Осло 21 мая 2019 года. Денежная составляющая премии — 6 млн норвежских крон (ок. 45 млн руб.).

Впервые за 16-летнюю историю премии награда досталась женщине. «Думаю, что это очень хорошее решение. Я в принципе за то, чтобы молодежь видела, что успешные женщины-математики существуют, но при этом меня раздражает, когда это делается „в ущерб качеству“ (а такого — пруд пруди). А тут редкий случай, когда никакого ущерба качеству нет», – отметил в своем блоге в «Фейсбуке» профессор Университета Торонто (Канада) и приглашенный профессор Сколтеха Александр Браверман.

Михаил Вербицкий, профессор факультета математики НИУ-ВШЭ, сотрудник Института чистой и прикладной математики (Рио-де-Жанейро, Бразилия), в комментарии ТрВ-Наука заметил, что Карен Уленбек – очень серьезный математик, специалист по анализу и геометрии. По его словам, лауреат Абелевской премии 2019 года заложила фундамент важнейших работ по теории инстантонов.

«Эта теория объединяет четырехмерную геометрию и топологию с анализом и позволяет пользоваться методами анализа для получения результатов в четырехмерной топологии. В 1986 году был получен один из самых важных результатов алгебраической геометрии, так называемая теорема Дональдсона — Уленбек — Яу. Он был получен Саймоном Дональдсоном для алгебраических поверхностей, потом австралийским математиком Бухдалем для всех остальных поверхностей размерности 4. А для больших размерностей продвинуться было гораздо труднее, потому что там эффекты размерности качественно иные. И этот результат был получен Уленбек и Яу в их статье 1986 года. Это вообще одна из главных работ в истории современной математики.

Основное достижение Карен — в теории инстантонов, своего рода теории геометрических объектов, заданных дифференциальными уравнениями в частных производных. Смысл их состоит в том, что это минимумы некоторого действия в калибровочной теории поля. Что это за теория? Принято считать, с обывательской точки зрения, что все материальные объекты — это точки в пространстве. На самом деле материальные объекты — это поля, т. е. вероятностные распределения в том же самом пространстве. Иначе говоря, каждое материальное тело существует с некоторой вероятностью в каждой точке и в некоторой конфигурации. И это поле вероятностей является функцией на пространстве. В каждой точке пространства есть некоторая вероятность, что наша частица будет иметь такую позицию и такие данные.

Калибровочная теория поля состоит в попытке посчитать движение частиц, интерпретируя их не как набор координат, а как некую функцию распределения. С этой теорией возникает большое количество интересных математических задач, которые, в принципе, никакого отношения к физике уже не имеют. В том числе и изучение инстантонов. Природа этого такова: когда исследователи пытаются посчитать что-нибудь про частицы (где их рассматривают как точки в бесконечномерном пространстве таких полевых распределений), то по этому пространству интегрируют какую-то функцию. Оказывается, есть математический эффект, позволяющий заменить интегрирование этой функции по всему пространству интегрированием по тем точкам, где у этой функции минимум. Точки минимума калибровочных полевых объектов как раз и называются инстантонами. (Это гораздо проще рассказать математическим языком, а не словами. Математическое уравнение очень простое, но я его не буду сейчас приводить).

В алгебраической геометрии инстантоны классифицируют расслоения. Кроме того, они используются для изучения топологии четырехмерных многообразий. Как вы знаете, границы обычной чашки — это двумерное многообразие. Но если бы у нас была пятимерная чашка, то ее граница была бы четырехмерным многообразием. Саймон Дональдсон получил премию Филдса 1986 года как раз за работы в этой области.

Гладкость очень сильно влияет на топологию четырехмерного многообразия. Во-первых, почти все четырехмерные многообразия имеют гладкие структуры. И этих структур может быть бесконечно много. Дональдсон изучал всё это, используя теорию инстантонов.

Влияние Карен Уленбек на мир математики велико. Она многое сделала как педагог и просветитель. Список ее учеников потрясающ по степени разнообразия, они занимаются очень разными проблемами. Но она повлияла и на других. Какие-то работы Теренса Тао, лауреата Филдсовской премии (2006), в большой степени были сделаны под влиянием идей Уленбек. Она сделала очень много в теории Зайберга — Виттена (Seiberg—Witten theory). Ее перу принадлежит прекрасная книга, на которую все до сих пор ссылаются, хотя она уже устарела. Но поскольку она очень хорошо написана, то до сих пор популярна. Книга Д. Фрида и К. Уленбек „Инстантоны и четырехмерные многообразия“ выходила и в переводе на русский язык (изд-во „Мир“, 1988). Я ей очень признателен за ее труды, но, к сожалению, пока лично с ней не общался».

Подготовила Наталия Демина.
Фото Andrea Kane/IAS