Премия за математическую «волшебную палочку»

5 сентября 2019 года было объявлено имя лауреата Breakthrough Prize in Mathematics 2020 года. Премию присудили профессору Чикагского университета США Александру Эскину (Alex Eskin) «за революционные открытия в динамике и геометрии пространств модулей абелевых дифференциалов, включая доказательство „теоремы о волшебной палочке“, найденное совместно с ­Мариам ­Мирзахани». О лауреате рассказывает сотрудник Центра перспективных исследований Сколтеха, профессор Университета Париж-7 Антон Зорич.

Нобелевских премий за математические результаты, как известно, не дают. Согласно одной из версий, причиной тому Миттаг-Лефлер (Mittag-Leffler), который мог претендовать на первую Нобелевскую премию по математике, а сам Нобель подобного награждения не желал. Миттаг-Лефлер, действительно, относился к женщинам с несколько большей заботой и вниманием, чем это было принято в те времена, да вот только хранитель библиотеки Миттаг-Лефлера, хорошо знающий жизнь ее основателя, на мой прямой вопрос ответил, что такого сорта личные счеты между Нобелем и Миттаг-Лефлером — выдумка.

Впервые за математические результаты было обещано очень много денег в 2000 году при обнародовании знаменитого списка «семи проблем тысячелетия», за решение которых фонд Клэя пообещал выплачивать по миллиону долларов. Я помню, как вскоре после этого кто-то из коллег подначивал очень известного и очень талантливого математика Максима Концевича: не собирается ли он заработать миллион? На это Максим отвечал, что из всех способов заработать миллион решать трудные математические задачи — самый неэффективный.

С тех пор у математиков появилась премия Абеля — аналог Нобелевской премии, которую, условно говоря, дают математическим гуру по совокупности очень серьезных заслуг. А в 2014 году появилась новая, ни на что не похожая Breakthrough Prize, которую с тех пор ежегодно дают за недавний результат, оцененный экспертами как «прорыв в математике». К слову, Максим Концевич получил Breakthrough Prize сначала по физике, потом по математике, да еще и премию Shaw, что, тем не менее, ничуть не опровергает его слова.

Саша Эскин, получивший несколько дней назад 2020 Breakthrough Prize, не только необыкновенно глубокий математик, но еще и невероятно талантливый экспериментатор. Если бы его интересовали деньги, то с его талантом придумывать и реализовывать блистательные компьютерные эксперименты он бы уже давно переехал из небольшой квартиры, которую больше двадцати лет снимает у Чикагского университета, куда-нибудь в более теплые края.

Саша — потомственный математик. Сашин отец, Григорий Эскин, по отзывам однокурсников (Сергея Новикова и моего отца) — тоже отличный математик и очень скромный человек. Несколько раз слышал, что ему в свое время особенно грубо не дали защитить докторскую диссертацию. Деталей не знаю, поскольку Саша не из тех людей, что любят рассказывать о себе и своей семье. Знаю только, что после отъезда в Израиль семья (у Саши есть еще брат и сестра) довольно быстро перебралась в США.

Сашины научные исследования начались в MIT, где он занимался в аспирантуре… теорией струн. Но у Саши неподходящая для теории струн шкала времени, и он сбежал в математику, науку неторопливую. Тут, если за 10–15 лет удалось решить серьезную задачу, считай, что повезло. Над задачей, которую недавно решили Саша Эскин и Мариам Мирзахани (Maryam Mirzakhani), каждый из них думал с аспирантских лет. Теорема, которую они доказали, — волшебная палочка для нескольких смежных областей математики. С ее помощью уже решено несколько трудных задач, но я уверен, что это только начало.

Чтобы пояснить, в чем состоит тео­рема, придется сказать два слова о динамических системах. Представьте себе однородную резинку, натянутую на окружность. Разрежьте ее в одном месте, намотайте на окружность два раза вместо одного, и склейте концы без нахлеста. С точки зрения математика вы таким образом построили отображение окружности в себя. Выбрав стартовую точку, вы можете посмотреть, куда она попадет после первой итерации, после второй итерации и так далее.

Так вы получите орбиту исходной точки относительно нашего бесхитростного отображения. Для почти всех начальных точек орбиты очень регулярно наматываются на окружность. Но не для всех. Орбиты некоторых исключительных точек накапливаются в изысканных канторовых множествах, и разнообразие таких изысканных множеств необозримо. Такое поведение типично для так называемых гиперболических динамических систем.

Рассмотрим теперь другую динамическую систему. Представьте себе, что по экрану вашего компьютера бежит прямая линия. Добежав до верхней части экрана, линия исчезает, но немедленно появляется снизу экрана ровно под той точкой, где она исчезла, после чего продолжает бежать по экрану под тем же наклоном. Точно так же, добежав до бокового края экрана, линия исчезает и немедленно возникает на другом боковом крае на той же высоте и продолжает движение в том же направлении.

Математик в такой ситуации скажет, что края экрана отождествлены. Если склеить две противоположные стороны эластичного экрана, получится бублик, а по-научному — тор. Наша траектория навивается на этот тор. На этот раз никаких канторовых множеств мы никогда не получим. В зависимости от угла наклона траектория либо замкнется, сделав несколько витков вокруг тора, либо будет вечно и очень равномерно наматываться на тор. До теоремы Эскина, Мирзахани и Амира Мохаммади (Amir Mohammadi) считалось, что так ведут себя только очень специальные динамические системы в очень специальных однородных пространствах.

А теперь представьте себе, что экран вашего футуристического компьютера — многоугольник, у которого все стороны разбиты на пары параллельных сторон одинаковой длины. Когда прямая линия добегает до границы многоугольника, она, как и раньше, перепрыгивает на параллельную сторону и продолжает движение в том же направлении. Если мы склеим парные стороны, то мы снова получим поверхность, но, в зависимости от многоугольника, возможно, более сложную, чем тор. Чтобы описать поведение прямых линий на такой поверхности, оказывается полезно воспользоваться еще одной динамической системой. А именно, надо рассмотреть не одну поверхность, а все поверхности, которые можно получить линейной деформацией исходного многоугольника.

Нужно посмотреть, на какое подмножество в множестве всех плоских поверхностей с коническими особенностями (так называемом пространстве модулей) наматывается четырехмерная орбита исходной плоской поверхности под действием всех возможных линейных отображений. Это подмножество даст вам массу ценной информации о геометрии исходной плоской поверхности.

По-моему, очень похоже на волшебную палочку: вы прикасаетесь к простой как тыква поверхности — и из нее вырастает четырехмерная орбита, которая наматывается на некоторое причудливое образование в многомерном пространстве, похожее, скажем, на карету. А прикоснетесь к другому простому объекту — и из него вырастет лошадь или кучер, который знает все секреты исходного простого объекта.

Подход красивый, но много лет было непонятно, будут ли орбиты наматываться на безнадежно причудливые канторовы множества, как в гиперболической динамике, или на что-то познаваемое, как в случае тора и однородных пространств. Эскин, Мирзахани, Мохаммади (с дополнением аспиранта Эскина — математика из Кишинёва, ныне associate professor Чикагского университета Семёна Филипа (Simion Filip)) доказали, что в данном контексте пространство модулей плоских поверхностей ведет себя как однородное пространство.

Доказательство, как я упоминал, заняло много лет. В 2010 году уже казалось, что доказательство закончено. Мы заставили Сашу анонсировать результат на конференции в Бонне. Доказательство было непростым и использовало свежие результаты других авторов. Саша не из тех людей, кто готов пользоваться «черным ящиком»: когда он использует чужие результаты, он их проверяет. После Сашиной беседы с автором одной из формул, использованных в доказательстве, в формуле была обнаружена роковая опечатка. Формулировка теоремы ослабла.

После этого Саша Эскин и Мариам Мирзахани еще четыре года работали над новым доказательством. Технические трудности возникали повсюду, где они только могли возникнуть. Их новое доказательство — монументальный труд, вобравший в себя многие недавние результаты из теории динамических систем. И у Саши, и у Мариам есть другие замечательные результаты. Но эта тео­рема — особенная. Она, без сомнения, сыграла роль и в присуждении Мариам Мирзахани Филдсовской медали, и в присуждении Саше Эскину Breakthrough Prize.

Историю с обрушившимся доказательством я рассказал сознательно. Я уверен, что для обоих авторов доказать теорему в желаемой общности стало делом чести и ответственности. Эти два фактора заставили их сделать невозможное. Несколько лет их работы (после 2010 года) выглядят для меня как переход через Анды зимой без снаряжения после крушения самолета на замерзшем горном озере.

Про Сашины стандарты ответственности я могу рассказать такую историю. В начале 2000-х вместе с Ховардом Мэйзуром (Howard Masur) и Сашей Эскиным мы несколько лет работали над довольно замысловатой формулой для некой геометрической характеристики (а именно для константы Зигеля — Вича (a Siegel — Veech constant)) плоских поверхностей с коническими особенностями. Чтобы проверить наши теоретические вычисления, Саша написал компьютерную программу, позволявшую вычислять константу Зигеля — Вича приближенно.

Благодаря этой программе мы действительно исправили несколько ошибок в исходной общей формуле. В конце концов почти во всех случаях компьютерный эксперимент и теоретические предсказания сошлись. Только для одного зловредного частного случая расхождение оставалось порядка 30%, причем, как назло, всегда в одну сторону, какие бы поверхности мы ни брали. Это «всегда в одну сторону» противоречило теоретическим результатам Вича: мы твердо знали, что среднее отклонение, полученное усреднением по всем поверхностям, должно было быть нулевым.

Саша потратил лето на то, чтобы объединить в один кластер несколько сотен простаивавших летом университетских компьютеров и запрограммировать расширенный эксперимент для эфемерного суперкомпьютера (что не было рутинной процедурой, особенно двадцать лет назад). Увы, новый эксперимент дал почти тот же результат, что и прежде. Саша объявил, что ни о какой публикации не может быть и речи (а это, заметьте, несколько лет интенсивной работы), и готовая статья была вполне законно отправлена в мусорный ящик. К счастью, спустя несколько лет я нечаянно наткнулся на плоские поверхности, которые мы еще не тестировали, запустил для них Сашину программу и снова получил большую ошибку, но уже в другую сторону. В нашей работе всё было правильно.

Я очень рад за Сашу и за его родителей. Думаю, что они рады за Сашу даже больше, чем он сам. И я уверен, что материальная часть этой почетной и заслуженной премии не только не уменьшит Сашин интерес к математике, а позволит ему сэкономить время и силы, освободив от части бытовых проблем.

Антон Зорич

От редакции

Напомним, что Breakthrough Prize (Премия Прорыва) была учреждена в 2012–2013 годах предпринимателем Юрием Мильнером. В число соинвесторов теперь входят жена Мильнера Юлия, создатель Google Сергей Брин, один из создателей «Фейсбука» Марк Цукерберг и его жена, филантроп и педиатр Присцилла Хан (Priscilla Chan), китайский предприниматель Ма Хуатэн (Ma Huateng) и гендиректор компании 23andMe Энн Воджицки (Anne Wojcicki). Денежная часть премии составляет 3 млн долл. США. Церемония награждения состоится 3 ноября 2019 года в NASA Ames Research Center в Калифорнии (США).

Все лауреаты Breakthrough Prize 2020 года —
breakthroughprize.org/News/54