«Неисчислимое», «невыразимое» и еще более чудовищные числа

Фрагмент книги «Эта странная Математика»

В конце февраля в издательстве Corpus выходит книга Дэвида Дарлинга и Агниджо Банерджи «Эта странная Математика — на краю бесконечности и за ним» (перевод Алексея Глущенко). Это популярное введение в самые современные проблемы из очень разных разделов этой гуманитарной (по убеждению В. Успенского) науки: от теории чисел до топологии, от алгоритмов до теории игр. Каждую из этих проблем авторы описывают с самого начала, абсолютно понятно и доступно даже ребенку. Но буквально за несколько первых страниц читатель не только знакомится с историей вопроса, но и успевает подняться на довольно высокий уровень абстракции, с которого можно хорошо рассмотреть пусть и не сами современные проблемы, но контекст, в котором они находятся. «Медуза» публикует фрагмент главы, где такой подход авторов наиболее очевиден: она о том, как математики на протяжении тысячелетий придумывали все более и более головокружительные числа.

Попросите ребенка назвать самое-самое большое число — и, скорее всего, услышите в ответ что-то вроде «пятьдесят тысяч миллионов миллиардов триллионов триллионов…» и так далее, пока объект расспросов не устанет нанизывать одно на другое реальные числа вперемешку с «сиксиллионами» и «мультиллиардами». По житейским меркам это и вправду очень большие числа, может быть, даже превышающие количество всех живых существ на Земле или звезд во Вселенной. Но по сравнению с умопомрачительно гигантскими числами, которые способны конструировать математики, — это просто детские шалости.

Если бы вам вдруг взбрело в голову провести остаток своей сознательной жизни, произнося «триллион триллионов триллионов триллионов…» и так далее со скоростью один «триллион» в секунду, то получившееся в итоге число было бы просто мизерным по сравнению с монстрами числового космоса, с которыми мы познакомимся в этой главе: такими как число Грэма, TREE (3) и поистине исполинское число Райо.

Известно, что одним из первых систематически начал задумываться об очень больших числах Архимед. Он родился в Сиракузах на острове Сицилия около 287 года до нашей эры и считается величайшим математиком древности и одним из самых великих в истории человечества. Он задался вопросом: сколько всего на свете песчинок и сколько вообще их можно вместить в целый мир, который, как считали древние греки, простирается до сферы «неподвижных звезд» (так, в отличие от планет, они называли звезды, видимые на ночном небе). Его трактат «Исчисление песчинок» начинается так:

Некоторые люди полагают, государь Гелон, что число песка по величине бесконечно; я говорю не только о песке, который имеется в окрестностях Сиракуз и остальной Сицилии, но и о том, который имеется во всех странах, как населенных, так и не населенных. Есть, однако, и такие, которые не считают его бесконечным, но тем не менее думают, что не существует такого имеющего название числа, которое было бы больше его количества.

Чтобы подготовить почву для своих расчетов космического масштаба, Архимед взялся для начала расширить существовавшую в то время систему наименования больших чисел — а это основная проблема, с которой сталкивались с тех пор все математики, пытавшиеся описывать все большие и большие целые числа. Греки называли число 10 000 «мюриас», что подразумевает неисчислимость. У римлян же оно называлось «мириадой» . В качестве точки отсчета на пути в мир огромных чисел Архимед использовал «мириаду мириад», то есть 100 000 000, или, если использовать современное экспоненциальное представление, 10⁸. Число это намного превышало любое, для какого у греков нашлось бы практическое применение.

Все числа, идущие до мириады мириад, Архимед назвал «первыми». Те, что шли вплоть до мириады мириад, помноженной на мириаду мириад (то есть до единицы с 16 нулями, или 10¹⁶), он отнес ко «вторым»; потом перешел к «третьим», «четвертым» и так далее, причем каждый последующий разряд в его схеме был в мириаду мириад раз больше предыдущего. В конце концов он достиг «мириад-мириадного» разряда, то есть числа 10⁸, умноженного само на себя 10⁸раз (или 10⁸ в степени 10⁸). Таким порядком Архимеду удалось описать числа длиной вплоть до 800 000 000 знаков. Их он отнес к «числам первого периода». Само число 10⁸⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ он принял за начало второго периода, после чего повторил весь процесс снова. Для второго периода Архимед применил ту же методику, что и для первого, увеличивая каждый последующий разряд в мириаду мириад раз до тех пор, пока в конце мириад-мириадного периода не достиг колоссального числа 10⁸⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰, или мириады мириад, возведенной в степень, равную мириаде мириад, умноженной на мириаду мириад.

Как выяснилось позже, для того чтобы реализовать свой проект по подсчету песчинок, Архимед мог ограничиться и первым периодом. Согласно тогдашним представлениям о космосе, весь мир вплоть до неподвижных звезд имел объем шара с диаметром в два световых года, в центре которого находилось Солнце. Оценив размер песчинки, Архимед пришел к следующему выводу: чтобы превратить космос в гигантский песчаный пляж, потребуется 8 × 10⁶³ песчинок, то есть всего-навсего число восьмого разряда первого периода. Даже если взять рассчитанный современными учеными диаметр наблюдаемой Вселенной — 92 миллиарда световых лет, — ее объем не сможет вместить больше 10⁹⁵ песчинок, а это все равно число лишь двенадцатого разряда первого периода.

Возможно, в западном мире Архимед и был чемпионом по большим числам, но ученые мужи Востока в поисках числовых тяжеловесов уже скоро побьют все его рекорды. В написанном на санскрите индийском тексте приблизительно III века «Лалитавистара» Будда Гаутама описывает математику по имени Арджуна систему счисления, начинающуюся с «коти» — 10 000 000 на санскрите. После коти идет длинный перечень имеющих собственные названия чисел, каждое из которых в 100 раз больше предыдущего: 100 коти называются «аюта», 100 аюта называются «ниюта», и так далее, до числа «таллакшана», представляющего собой единицу с 53 нулями. Он называет и большие числа, такие как «дхваджагравати», равное 10⁹⁹, вплоть до гиганта «уттарапараманураджаправеша» — 10⁴²¹.

Другой буддийский текст идет еще дальше по пути к исполинским, чудовищно большим числам. В «Аватамсака сутре» описан целый космос, состоящий из бесконечного множества взаимопроникающих уровней. В тридцатой главе Будда вновь пространно рассуждает о больших числах начиная с 10¹⁰, после чего возводит его в квадрат, получая 10²⁰, снова возводит в квадрат, получая 10⁴⁰, и продолжает дальше, последовательно переходя к 10⁸⁰, 10¹⁶⁰, 10³²⁰, пока не достигает числа 10¹⁰¹ ⁴⁹³ ³⁹² ⁶¹⁰ ³¹⁸ ⁶⁵² ⁷⁵⁵ ³²⁵ ⁶³⁸ ⁴¹⁰ ²⁴⁰. Возведите его в квадрат, провозглашает Будда, и результат будет «неисчислимым». Однако и на этом он не останавливается. Вслед за «неисчислимым» (очевидно, основательно поработав с санскритским словарем в поисках достойных эпитетов) он продолжает перечислять все большие и большие числа, называя их «безмерным», «безграничным», «несравнимым», «бессчетным», «непостижимым», «немыслимым», «неизмеримым» и «неизъяснимым», завершая всю эту пирамиду «невыразимым», которое, как показывают расчеты, равно 10^10×(2122) (значок ^{используется, чтобы показать, что одно число возводится в степень другого; таким образом, 10}10×(2^122) — это то же, что и 1010×(2 в 122-й степени)). Рядом с «невыразимым» самое большое число из упомянутых в трудах Архимеда, 10⁸⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰, кажется просто карликом. Чтобы оно попало хотя бы в ту же весовую категорию, его пришлось бы возвести в степень, примерно равную 66 000 000 000 000 000 000.

И Архимеду, и авторам буддийских сутр большие числа нужны были для того, чтобы дать представление о громадности вселенной в их понимании. Буддисты, кроме того, считали, что, дав чему-либо название, человек приобретает над этим определенную власть. Но математиков, как правило, мало интересует бесцельное изобретение новых схем для наименования и обозначения все возрастающих больших чисел. Наша система, в которой для наименования больших чисел используются слова, заканчивающиеся на «-иллион», восходит к французскому математику XV в­ека Никола Шюке. В своем трактате Le Triparty en la Science des Nombres («Наука о числах в трех частях») он записал огромное число, разбил его на группы по шесть знаков в каждой и предложил назвать эти группы так:

…миллион, вторая отметка — биллион, третья отметка — триллион, четвертая — квадриллион, пятая — квииллион, шестая — сикслион, седьмая — септиллион, восьмая — оттиллион, девятая — нониллион, и далее так же поступать с другими числами столь долго, сколько будет угодно.

В 1920 году американский математик Эдвард Казнер попросил своего девятилетнего племянника Милтона Сиротту придумать название для числа, изображаемого единицей со ста нулями. Предложенное мальчишкой название «гугол» приобрело всеобщую известность после того, как Казнер написал о нем в своей книге «Математика и воображение» (Mathematics and the Imagination), созданной в соавторстве с Джеймсом Ньюменом. Помимо гугола юный Сиротта также предложил название «гуголплекс» для числа, записываемого как «единица со шлейфом из стольких нулей, сколько сможешь написать, пока не устанешь». Казнер решил дать числу более точное определение, поскольку «кто-то может устать раньше, кто-то позже, и не годится, чтобы Примо Карнеру [будущего чемпиона мира по боксу в тяжелом весе] считали более сильным математиком, чем доктора Эйнштейна, просто потому, что он выносливее физически». Впрочем, слово «усталость» (и это еще мягко сказано) — довольно точное описание того, что ощутит человек, которому придет в голову написать число гуголплекс. Судите сами: согласно определению Казнера, гуголплекс — это 10 в степени гугол, или единица с гуголом нулей. Число гугол нетрудно записать полностью:

10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Но гуголплекс неизмеримо больше. На всей планете не хватит бумаги, да что там бумаги на Земле, во всей видимой Вселенной не хватит вещества, чтобы записать все знаки гуголплекса, даже если изображать нули размером с протоны или электроны.

Гуголплекс намного больше самого огромного из чисел, каким ученые древности дали названия, включая великанское «невыразимое». И все же он не так велик, как число, которое получил в 1933 году математик из ЮАР Стэнли Скьюз, работая над проблемой в области простых чисел. Названное в честь этого ученого, число Скьюза представляет собой максимально возможное значение (верхний предел), которое получается при решении математической задачи, связанной с распределением простых чисел. Знаменитый британский математик Годфри Харолд Харди, наставник Рамануджана и автор популярной «Апологии математика», назвал его на тот момент «самым большим числом, когда-либо использованным в математике для какой-либо конкретной цели». Его значение — 10¹⁰10^{34 , или, если точнее, 10}10^{8852142197543270606106100452735038,55. Для того чтобы рассчитать этот колоссальный по величине верхний предел, Скьюзу пришлось исходить из предположения о справедливости гипотезы Римана, над которой математики до сих пор ломают голову. Два десятилетия спустя он объявил, что рассчитал еще одно число, в связи с той же задачей, но на этот раз не прибегая к предположению о верности гипотезы Римана. Оно получилось еще больше — 10}10¹⁰964 плюс-минус несколько триллионов.

От чистой математики не отставала и физика со своими головоломными проблемами, решение которых также время от времени приводило к появлению гигантских чисел. На этом фронте одним из первых стал французский математик, физик-теоретик и ученый-энциклопедист Анри Пуанкаре, среди многочисленных трудов которого — исследования того, сколько времени требуется физической системе, чтобы вернуться в определенное исходное состояние. Когда речь идет о вселенной, так называемое время возвращения Пуанкаре — это промежуток времени, необходимый для того, чтобы вещество и энергия, пройдя через немыслимое количество преобразований, перераспределились до состояния, которое в точности, вплоть до субатомного уровня, повторяет начальное. По оценке канадского теоретика Дона Пейджа, в прошлом аспиранта Стивена Хокинга, для наблюдаемой Вселенной время возвращения Пуанкаре составляет 10¹⁰10¹⁰2,08 лет. Это число больше гуголплекса и находится где-то посередине между малым и большим числами Скьюза. Пейдж также рассчитал максимальное время возвращения Пуанкаре для любой вселенной определенного типа. Оно еще больше — 10¹⁰10¹⁰10^1,1 лет, что превосходит и второе из чисел Скьюза. Что касается самого гуголплекса, Пейдж отметил, что тот приближенно равен количеству микросостояний в черной дыре, сравнимой по массе с галактикой Андромеды.

И «невыразимое», и гуголплекс, и числа Скьюза титанически велики для постижения разумом. Но они и рядом не стояли с числом, названным в честь американского математика Рональда Грэма, впервые описавшего его в своей статье 1977 года. Так же как и числа Скьюза, число Грэма — результат работы над серьезной математической проблемой, на этот раз связанной с теорией Рамсея.

Приближаться к числу Грэма нам придется постепенно, подобно альпинистам, покоряющим высочайшие вершины мира. Первым шагом будет знакомство с особым способом записи больших чисел, изобретенным американским ученым в области информатики Дональдом Кнутом и известным как стрелочная нотация. Она основана на том факте, что умножение всегда можно представить как многократное сложение, а возведение в степень — как многократное умножение. Например, 3 × 4 — это то же самое, что 3 + 3 + 3 + 3, а 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3. В нотации Кнута возведение в степень обозначается одиночной стрелкой, направленной вверх: например, гугол, или 10¹⁰⁰, записывается как 10↑100, а три в кубе, или 3³, — как 3↑3. Повторное возведение в степень, для которого нет специального стандартного обозначения, записывается в виде двух стрелок: таким образом, 3↑↑3 = 3³3 . Операция ↑↑, называемая тетрацией (поскольку она идет четвертой в иерархии после сложения, умножения и возведения в степень), — штука гораздо более сильная, чем может показаться на первый взгляд. 3↑↑3 = 3³3 = 3²⁷, что равно 7 625 597 484 987.

Тетрацию можно представить и в виде степенной башни (кошмар любого наборщика текста). Если с числом a требуется произвести операцию тетрации порядка k, это записывается следующим образом:

Иначе говоря, число a возводится в степень, представленную башней высотой в k — 1 этаж.

Темп, с которым растет результат математического действия при добавлении новых стрелок, просто ошеломляет: если 3 × 3 = 9, то 3↑3 дает 27, а 3↑↑3 уже больше 7,6 триллиона (13-значное число). Результат тетрации числа 4 еще поразительнее: 4↑↑4 = 4↑4↑4↑4 = 4↑4↑256, что приблизительно равно 10↑10↑154 — то есть больше гуголплекса (10↑10↑100). Перевалить за это огромное число нам удалось с помощью всего-то одной четверки и нескольких простых значков.

Но раз мы сделали такой гигантский шаг, перейдя от простого возведения в степень к тетрации, то, наверное, если добавить еще одну стрелку, можно получить что-то еще более впечатляющее? Что ж, интуиция нас не обманывает. При повторной тетрации, называемой пентацией, результат вырастает так, что аж дух захватывает! Ничем не примечательная запись 3↑↑↑3 — это то же, что 3↑↑3↑↑3, что, в свою очередь, равно 3↑↑7 625 597 484 987, или 3↑3↑3↑3…↑3, — а это уже степенная башня высотой в 7 625 597 484 987 троек. Если башни в 4 этажа достаточно, чтобы получить число, превышающее гуголплекс, только представьте себе, что получится в этом случае. Это невообразимо большое число: человеческой жизни не хватит, чтобы записать его даже в виде степенной башни. В напечатанном виде такая башня дотянется до самого Солнца.

Это число, известное как «тритри», значительно больше любого из тех, что мы упоминали до сих пор; осмыслить его нам, простым смертным, почти невозможно. А ведь мы еще только начали. Тритри, при всей своей величине, — ничтожная песчинка рядом с величественным пиком, который представляет собой число Грэма. Добавив еще одну стрелку, получим 3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑3↑↑↑3 = 3↑↑↑тритри. Давайте разберемся, что это значит. В нагромождении степенных башен самая первая у нас 3; вторая — 3↑3↑3, или 7 625 597 484 987; третья — 3↑3↑3↑3…↑3 c 7 625 597 484 987 тройками, то есть тритри; четвертая — 3↑3↑3↑3…↑3, где тритри троек; и так далее. 3↑↑↑↑3 — это башня под номером тритри. Добавив к трем стрелкам еще одну, мы шагнули на гигантское расстояние, так далеко, что уму непостижимо. А пришли всего лишь к g₁ — самому первому из серии чисел g, необходимых для того, чтобы добраться до вершины, то есть до самого числа Грэма.

После передышки в базовом лагере g₁ продолжаем подъем до следующего лагеря, g₂. Помните, что, добавляя в запись числа всего одну стрелку, мы каждый раз увеличиваем его на чудовищную величину. Теперь внимание! Число g₂ — это 3↑↑↑↑…↑3 с количеством стрелок, равным g₁. Даже робкая попытка осмыслить его масштаб, понять, насколько грандиозными могут быть числа, вызывает головокружение. Всего одна дополнительная стрелка увеличивает результат на феноменальную величину, а в числе g₂ таких стрелок g₁. В числе g₃, как вы уже наверняка догадались, g₂ стрелок, в числе g₄ — g₃ стрелок и так далее. А само число Грэма, G, — это g₆₄. В 1980 году оно было занесено в «Книгу рекордов Гиннесса» как самое большое число, когда-либо использованное в реальном математическом доказательстве.

Математическую проблему, из которой родилось число Грэма, фантастически сложно решить, но довольно легко сформулировать. Связана она с многомерными кубами, то есть n-мерными гиперкубами. Представьте, что все вершины такого куба попарно соединены друг с другом отрезками, окрашенными либо в красный, либо в синий цвет. Грэм задался следующим вопросом: каково наименьшее значение n, при котором для любого варианта окрашивания найдутся четыре вершины, лежащие в одной плоскости и попарно соединенные отрезками одного цвета? Ему удалось доказать, что нижний предел для числа n — 6, а верхний — g₆₄. Этот колоссальный разрыв свидетельствует о сложности задачи. Грэм смог доказать, что значение n, удовлетворяющее ее условиям, существует, но для этого ему пришлось определить верхний предел n с помощью числа умопомрачительной величины. С тех пор математики сумели сократить разрыв до более скромного (по сравнению с первоначальным) диапазона значений n: от 13 до 9↑↑↑4.

Число Грэма, наряду с гуголом и гуголплексом, часто приводят в качестве примера очень большого числа, имея о нем, однако, весьма смутное понятие. Во-первых, это уже далеко не самое большое из описанных чисел. Во-вторых, если уж искать новые «рекордные» числа и способы их представления и описания, то брать за основу число Грэма и увеличивать его с помощью традиционных математических операций не имеет никакого смысла.

В последние годы возник целый раздел занимательной математики под названием «гугология», посвященный исключительно расширению горизонтов больших чисел путем описания и наименования еще больших экземпляров. В принципе, назвать число, большее любого другого, может кто угодно. Если я назову число Грэма, вы можете сказать «число Грэма плюс 1», или «число Грэма в степени, равной числу Грэма», или даже «g₆₄↑↑↑↑…↑g₆₄ c числом стрелок, равным g₆₄» (что примерно равно g₆₅). Но такое «надстраивание» за счет повторного использования одних и тех же математических действий не влечет за собой никаких коренных изменений: в результате все равно получится некая производная числа Грэма. Иначе говоря, придуманное вами число будет построено примерно таким же способом, как и само число Грэма, с помощью аналогичных приемов. Серьезные гугологи называют такую неэлегантную мешанину из уже существующих чисел и функций, никак не затрагивающую исходное большое число по сути, «салатом» и относятся к ней крайне неодобрительно. Число Грэма — это стрелочная нотация, доведенная до предела своих возможностей. В «салате» же к числу Грэма просто применяют какое-нибудь несущественное математическое действие. Такие безыскусные игры со скромным приращением готовых чисел не для гугологов; их интересует разработка принципиально новой системы, которую можно было бы расширить до таких масштабов, чтобы число Грэма показалось пренебрежимо малым.

Одна такая бесконечно масштабируемая система уже существует. Она называется быстрорастущей иерархией, поскольку позволяет достичь феноменальных темпов роста. Что еще важнее, эта методика уже опробована математиками на практике и часто используется как эталон при разработке новых способов получения фантастически больших чисел.