Математика и цифровой мир

Алексей Сгибнев, учитель математики в школе «Интеллектуал», и научный журналист Ирина Якутенко представили независимые рецензии на книгу Нелли Литвак и Андрея Райгородского «Кому нужна математика?» (М.: Манн, Иванов и Фербер, 2017) — финалиста премии «Просветитель».

Математику популяризовать трудно. Школьный курс заканчивается научными достижениями XVII –XVIII веков, а дальнейшие результаты кажутся слишком сложными, абстрактными и далекими от жизни. Действительно, чтобы понять глубину современных математических теорий, надо много и серьезно учиться. Однако вполне возможно «на пальцах» объяснить некоторые важные проблемы, которыми занимается современная математика, и идеи их решения. А также продемонстрировать практические следствия этих решений, с которыми, как оказывается, мы сталкиваемся на каждом шагу.

Именно это сделано в книге Нелли Литвак и Андрея Райгородского «Кому нужна математика? Понятная книга о том, как устроен цифровой мир». Книга действительно понятная — основной текст легко осилят те, кто смутно помнит программу средней школы. В «Приложения для подготовленного читателя» вынесены выкладки, доступные матшкольнику.

Что происходит, когда вы заходите на сайт, забиваете слово в поисковик, отправляете электронное письмо? Всё это стало возможно благодаря не только развитию техники, но и новым результатам в математике.

Вы подошли к кассам в супермаркете. Перед вами десять очередей разной длины. Что выгоднее: встать не глядя в одну из очередей или выбрать наугад две очереди (не обязательно соседние), сравнить их длины и встать в более короткую? Оказывается, второй вариант гораздо выгоднее. Он называется «выбор из двух» и впервые был предложен в 1986 году. Сейчас выбор из двух помогает отправить ваш запрос в Интернете на не слишком загруженный сервер, чтобы вы не ждали очень долго.

А вот более специальный пример: «За 1992–2012 годы компьютеры ускорились примерно в 8000 раз. За это же время независимо от скорости компьютера, иными словами, исключительно благодаря развитию математических идей алгоритмы расчета ускорились в 469 800 раз! Получается, что если вам нужно решить задачу линейного программирования, то лучше использовать старый компьютер и современные методы, чем наоборот — новейший компьютер и методы начала 1990-х. Мы не устаем восхищаться прогрессом компьютерных технологий. При этом математика достигла гораздо большего прогресса, и никто даже не заметил!» (Речь идет о пакетах CPLEX и Gurobi и задачах целочисленного линейного программирования, цитата из книги слегка укорочена.)

В каждой главе сначала описывается практическая проблема, ставится соответствующая математическая задача, затем приводится идея и история решения. Особенно впечатляют даты решений: 1940–2000-е годы.

Главы посвящены логистике (планированию производства), кодированию (хранению информация), связности случайных графов (надежности Интернета), методу выбора из двух (обработке запросов в Интернете), шифрованию (алгоритмам защиты данных), счетчикам с короткой памятью (обработке больших данных при ограниченной памяти), дизайну механизмов (математике онлайн-рекламы).

Текст хорошо проработан, подобраны хорошие аналогии и пояснения, его удачно дополняют иллюстрации и таблицы (Н. Литвак пишет, что давала читать черновики своим близким, и это чувствуется). Есть только небольшое количество мелких огрехов: например, в главе 6 не объясняется, что такое имплементация, так что приходится догадываться из контекста.

Как и во всякой хорошей популярной книге, здесь много запоминающихся историй — например, про жизнь Поля Эрдёша, про взлом «Энигмы» Тьюрингом. А также врезки с отдельными красивыми сюжетами (интересные свойства простых чисел, алгоритм подсчета числа рукопожатий и т. д.) и отсылки к другим ресурсам.

Если вам надо убедить кого-то (например, учеников, друзей или себя), что математика может быть полезной и интересной, эта книга — для вас.

Алексей Сгибнев

«Понятная книга о том, как устроен цифровой мир» — заманчиво обещает подзаголовок. Математики Нелли Литвак и Андрей Райгородский попытались популярно рассказать об одной из самых труднопопуляризируемых областей науки. Получилось ли у них?

Писать о математике очень сложно — и не только потому, что она сама по себе непроста. В физике, химии и даже максимально медийной биологии полно тем, в которых невозможно как следует разобраться без профильного образования. Но люди, решившие писать о математике, сталкиваются еще и с тем, что большинство вопросов невозможно изложить, используя аналогии с привычными вещами — именно благодаря этому приему популяризаторы умудряются с большей или меньшей степенью корректности рассказывать об экспериментах на Большом адронном коллайдере, эффекте Казимира в вакууме или особенностях работы нейронных сетей. С математикой этот номер не проходит, потому что, как говаривал великий Давид Гильберт, это всего лишь учение об отношениях между формулами, лишенными какого бы то ни было содержания. Ученый, конечно, шутил, но доля правды в этой шутке очень велика.

Именно по этой причине авторы сосредоточились не на абстрактной красоте доказательств (хотя немного об этом в книге тоже есть), а на практическом применении математики. Однако на беду любознательных, но не заканчивавших матфак читателей, большинство таких применений также очень сложны. Например, во второй главе авторы рассказывают о линейном программировании — одном из способов оптимизации поиска решений сложных проблем. Литвак и Райгородский пишут, что с 1992 по 2012 год программный пакет для решения задач линейного программирования Gurobi «ускорился» в 469 800 раз, и произошло это исключительно за счет совершенствования собственно математических формул, а не увеличения вычислительных мощностей компьютеров.

Объяснить, как именно Gurobi или любой другой пакет помогает найти оптимальный вариант, например, доставки грузов из миллиардов возможных, в научно-популярной книге невозможно. Поэтому авторы мужественно пытаются найти баланс, чтобы, с одной стороны, не излагать совсем уж «на пальцах», а с другой — не пугать аудиторию формулами. Часто у них это получается, но порой выходит не очень. Из-за попыток удержаться на грани популярного изложения текст всё время «качает»: где-то Литвак и Райгородский приводят полноценные математические доказательства с теми самыми «пугательными» формулами, а где-то ограничиваются интригующими фразами вроде «Такие выражения хорошо известны в математике и относятся к так называемым замечательным пределам, из которых, по сути дела, и следует результат», которые оказываются подвешены в воздухе.

Кроме того, не до конца понятно, по какому принципу авторы выбирали практические аспекты, на примере которых они показывают, насколько важна математика для современной жизни. Темы вроде перевода информации в «цифру», шифрования данных в Интернете, составления расписаний или повышения скорости работы серверов вопросов не вызывают. А вот аукционы по продаже мест контекстной рекламы всё же довольно специальная область, хотя, безусловно, жизненно важная для тех, кто занимается интернет-продажами. Вероятно, здесь сказался опыт работы одного из авторов в «Яндексе».

Как мне кажется, все эти шероховатости — следствие неверно выбранной аудитории. «Максимально широкий круг читателей» — это кто? Таких читателей нет в природе, а разве можно написать что-то идеально подходящее тому, кого нет? Именно поэтому примеры различаются по значимости, именно поэтому текст местами слишком упрощен, а местами «недокручен». И книга в целом выглядит незаконченной: не хватает какого-то обобщения.

Но при всем при этом «Кому нужна математика» — хорошая книга, которую стоит прочитать. Она рассказывает о вещах, о которых молчит большинство популяризаторов, и чуть-чуть приоткрывает глаза на то, как далеко продвинулись технологии, как много изощреннейшей игры ума в привычных вещах — и, да, как важна математика в повседневности.

И, опровергая собственные слова, скажу, что есть одна категория читателей, которые должны оценить книгу. Это подростки «технического» склада, еще не растерявшие то чистое любопытство, которым природа награждает младенцев. Для таких читателей в конце есть обширные приложения, в которых утверждения основного текста доказываются на чуть более сложном уровне, позволяющем оценить элегантность и стройность математических выкладок. Возможно даже, кого-то из подростков книга сподвигнет выбрать математику будущей профессией. И этот результат стоит сотни обращенных в математическую веру взрослых.

Ирина Якутенко

См. подробнее о книге:
www.mann-ivanov-ferber.ru/book/komu-nuzhna-matematika