Вавилонские мудрецы и теория чисел

Представьте себе вавилонского мудреца — бородатого старца в покрытых звездами одеяниях, с остроконечной шапкой, измеряющего циркулем небо. Образ сложился в иллюстрациях к восточным открытиям веке в девятнадцатом, — исторические вавилонские математики во II тыс. до н. э. выглядели, конечно, совсем иначе. И были значительно практичнее, чем мы с вами, — их математика опирается на такие обывательские нужды, как строительство, межевание, расчеты для календаря. Но и расчеты сугубо математические, без практической пользы, шумеро-аккадскому миру конца III — начала II тысячелетия до н. э. не были чужды. Табличка Plimpton 322, посвященная генерации пифагоровых троек, долгое время считалась уникальной, а несколько лет назад даже была объявлена двумя австралийскими математиками древнейшей тригонометрической таблицей [1]. ТрВ-Наука поговорил об этой табличке с ассириологом Надеждой Рудик и математиком Сергеем Львовским. Они говорят, что подобная математика, во-первых, не была чем-то из ряда вон выходящим для Междуречья в начале II тысячелетия до н. э., а во-вторых, хоть и не являлась тригонометрией как таковой, демонстрировала довольно впечатляющий для современных людей уровень и не преследовала никаких практических целей. Так что древним была не чужда математика ради собственно математики.

«Plimpton 322 — удивительный артефакт», — пишет математик, блогер журнала Scientific American Ивлин Лэм (Evelyn Lamb, [3]). Эта табличка известна научному миру уже довольно давно, с 1936 года она хранится в Университете Корнелла (см. описание таблицы в статье Н. Рудик «Математика в Месопотамии», с. 2). Чем же она так удивительна?

По всей видимости, вавилонским математикам был известен алгоритм поиска так называемых пифагоровых троек — натуральных чисел, которые являются длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника. Простейший пример пифагоровой тройки: 3, 4, 5 («египетский треугольник»). В табличке мы видим 15 пар чисел, задающих длины гипотенуз и меньших катетов [2]. Среди них встречаются огромные: например, 12 709 и 18 541 или 3 367 и 4 825.

«Перебором без компьютера найти пары чисел, представленные в этой таблице, совершенно немыслимо, — полагает Сергей Львовский, научный сотрудник Лаборатории алгебраической геометрии и ее приложений, доцент факультета математики НИУ ВШЭ. — Давным-давно описаны способы генерировать все существенно различные пифагоровы тройки. Видимо, один из них был известен автору таблички, хотя неясно, был ли он первооткрывателем».

Табличку, найденную в районе Ларсы и датируемой XIX–XVIII вв. до н. э., очень уж соблазнительно описывать как тригонометрическую: можно вспомнить, что при своем простейшем определении тригонометрические функции представляют собой отношения длин сторон треугольников. Синус угла представляет собой противолежащий катет, деленный на гипотенузу, косинус — прилежащий катет, деленный на гипотенузу, и тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему. Относительно недавно появилась наделавшая шуму статья Д. Манфреда (Daniel Manfred) и Н. Вайлбергера (Norman Wildberger) из Школы математики и статистики австралийского UNSW [1], где утверждалось, что Plimpton 322 — древнейшая тригонометрическая таблица, да еще такая, какая дала бы фору современной математике. Однако, как говорит Львовский, «ни о каком измерении угла в долях круга на данной табличке речи, как я понимаю, не идет. Так что это не тригонометрия — назвать табличку тригонометрической нельзя. Если уж говорить о разделе математики, к которому относится эта табличка, то это начальный раздел теории чисел. В школах, кроме математических, этот начальный раздел не изучают». Ивлин Лэм также отмечает, что эту таблицу нельзя сравнивать с современными тригонометрическими таблицами: «Поскольку, как и прочие жители древней Месопотамии, писцы, записавшие Plimpton 322, думали о треугольниках в терминах длин сторон, а не в терминах углов, углы в таблице не увеличиваются равномерно (как это происходит в тригонометрической таблице — 1º, 2º и т. д.)» [3].

«Такой набор пифагоровых троек мог появиться на бумаге, то есть глине, исключительно из-за наличия у человека чисто математического интереса к происходящему, — продолжает математик. — Сам способ представления материала, выбранный в этой таблице, исключал возможность включения в нее пифагоровых троек, получающихся из предыдущих умножением всех элементов на одно число: тогда в левом столбце были бы повторы». То есть в начале II тыс. до н. э. человек, выписывавший пифагоровы тройки на клинописную табличку, делал это исключительно из научного интереса!

Мария Молина