Премия за мягкость и жесткость диффуров

Михаил Энтов, профессор факультета математики Техниона (Израиль), прокомментировал для ТрВ-Наука присуждение Королевской академией наук Швеции премии Крауфорда за 2016 год по математике. Эта высокая награда была вручена профессору Стэнфордского университета (США) Якову Элиашбергу за «развитие контактной и симплектической топологий и прорывные открытия в области жестких и мягких методов [решения дифференциальных уравнений и неравенств] (rigidity and fexibility phenomena)».

Яков Матвеевич Элиашберг родился в 1946 году в Ленинграде. Окончил математико-механический факультет Ленинградского университета, учился у Владимира Рохлина. В этот период находился также под сильным математическим влиянием Михаила Громова, который чуть старше его (когда Элиашберг был студентом, Громов был аспирантом). В 1972 году защитил блестящую кандидатскую диссертацию по дифференциальной топологии, но из-за своего еврейского происхождения не смог найти работу по специальности в Ленинграде и переехал в Сыктывкар, где работал в Сыктывкарском университете до 1979 года.

В 1979 году вернулся в Ленинград и подал на выезд из СССР. Около 7 лет находился в «отказе», потом уехал в США. В годы «отказа» работал программистом, продолжая заниматься математикой в свободное время. С 1989 года он профессор Стэнфордского университета. Ученики, выращенные им в Стэнфорде, представляют собой целую школу в симплектической и контактной топологии. В 1986, 1998 и 2006 годах Яков Элиашберг был приглашенным докладчиком на Международных математических конгрессах (в 2006 — с пленарным докладом; в 1986 году советские власти не позволили ему поехать на конгресс). Он член Национальной академии наук США, лауреат многочисленных научных премий.

В конце 1960-х — начале 1970-х М. Громов развил очень глубокий геометрический подход к изучению общих дифференциальных уравнений и неравенств. В очень общих чертах громовский подход состоит в следующем. У каждого дифференциального уравнения/неравенства есть некая более «простая» версия — решение этой простой версии называется формальным решением изначального уравнения/неравенства.

Каждое настоящее решение (если оно есть) изначального дифференциального уравнения/неравенства немедленно дает и формальное, — это просто. А вот можно ли сделать из формального решения (если оно есть) настоящее и как — вопрос очень нетривиальный. Для некоторых типов задач из любого формального решения (если оно вообще есть) можно сделать и настоящее; тогда, по терминологии, введенной Громовым, говорят, что задача мягкая (soft или fexible). А для некоторых задач наличие формального решения не гарантирует существование настоящего; тогда, по Громову, задача называется жесткой (hard или rigid).

Например, легко построить «формальную дифференцируемую функцию» на окружности, не имеющую критических точек, тогда как настоящих функций с этим свойством не существует, — это простой пример жесткой задачи. С другой стороны, в сенсационной работе конца 1950-х годов Стивен Смейл обнаружил и доказал свойство мягкости для очень важного класса отображений, т. н. погружений сфер. Затем эта теорема обобщалась разными авторами, но решающий прогресс был достигнут в работах Громова и Элиашберга.

Соответственно, чтобы показать, что задача мягкая, надо показать, как строить настоящие решения из формальных, а чтобы показать, что она жесткая, надо доказать, что настоящих решений нет, хотя формальные есть. Отсюда и термины fexibility methods и rigidity methods. Доказательства и в ту и в другую сторону обычно очень трудные, да и формальные решения, как правило, найти очень непросто. А главное, часто бывает так, что изначально непонятно, жесткая задача или мягкая, т. е. какое из этих двух свойств доказывать; а для того чтобы это угадать, нужна очень мощная геометрическая интуиция.

Стиль Элиашберга в том, что у него эта интуиция сверхмощная и глубокая, и на основе этой интуиции он умеет делать очень неожиданные ходы в решении геометрических задач. Главный математический вклад Элиашберга состоит в изучении мягкости/жесткости задач, возникающих в областях математики, называемых симплектической и контактной топологией.

Симплектическая топология изучает математические объекты четной размерности, возникающие при математическом описании механических систем. Контактная топология — «сестра-близнец» симплектической — изучает родственные объекты нечетной размерности. Обе эти области уходят корнями в работы Анри Пуанкаре, который был пионером в изучении механических систем с помощью геометрических и топологических методов.

В 1960-е годы Владимир Арнольд переформулировал математический язык классической механики в современных геометрических терминах и под влиянием работ Пуанкаре сформулировал несколько очень глубоких гипотез про возникающие при этом математические объекты.

В 1970-е М. Громов и Я. Элиашберг осознали, что гипотезы Арнольда можно переформулировать как вопрос, являются ли определенные задачи жесткими или мягкими, и что ответ на этот вопрос покажет, является ли поведение геометрических объектов, возникающих в классической механике, чем-то принципиально новым и особенным (если задача жесткая), или же, напротив, эти объекты на самом деле ничем не выделяются из других им подобных геометрических объектов (если задача мягкая).

В конце 1970-х, еще будучи в Сыктывкаре, Элиашберг придумал первое доказательство того, что в размерности 2 задача Арнольда жесткая. В 1980-е появились и другие работы (включая важнейшую работу Громова и еще одну работу Элиашберга), показывавшие, что есть и разные другие жесткие задачи, связанные с геометрическими объектами, возникающими в классической механике, из чего вытекало, что эти объекты ведут себя своим особым образом, не похожим на другие им подобные геометрические объекты.

Таким образом, область математики, изучающая эти объекты, получила «право на независимость» — ее назвали симплектической топологией. Во второй половине 1980-х симплектическая топология начала бурно развиваться и, удивительным образом, вскоре оказалось, что эта область математики, возникшая изначально из классической механики, имеет большую важность для теории струн в современной теоретической физике.

Также в конце 1980-х Элиашберг написал ряд основополагающих работ, показавших, что и нечетномерная «сестра-близнец» симплектической топологии — так называемая контактная топология — имеет право на существование как отдельная область математики. Среди прочего Яков Элиашберг в некоем смысле провел четкую черту между мягкими и жесткими задачами в трехмерной контактной топологии. Эти работы Элиашберга определили направление всего дальнейшего развития контактной топологии.

С конца 1980-х Яков Элиашберг написал множество важнейших и блестящих работ по симплектической и контактной топологии, а также дифференциальной топологии и многомерному комплексному анализу, показывающих жесткость или мягкость определенных задач и создающих новые мощные инструменты для изучения возникающих в этих областях объектов. Он активно работает и сегодня — его работы последних лет абсолютно выдающиеся.

В личном плане он исключительно добрый человек, всегда щедро делящийся своими идеями и помогающий всем, кто в этом нуждается.

Выражаем признательность академику РАН профессору ВШЭ В. А. Васильеву за помощь в подготовке материала.

См. также:
Страница Я. Элиашберга на сайте Стэнфордского университета:
http://mathematics.stanford.edu/people/name/yakov-eliashberg/