Математика в огне

Издательство «Манн, Иванов и Фербер» представляет книгу Джейсона Уилкса «Математика в огне. Нескучный учебник» (переводчик Евгений Поникаров, научный редактор Константин Кноп).

Если вам не давалась математика, возможно, дело было не в вас, а в том, как вам ее преподносили. Эту книгу можно назвать провокацией. Предложенный подход к изучению математики меняет привычное представление о ней как о скучной и абстрактной дисциплине, которую нужно просто вызубрить. Автор вместе с читателем создает математическую вселенную, увлекательную и увлекающую. Он не постулирует математические концепции, а постепенно выводит их из нашего понимания окружающего мира. По мнению Джейсона Уилкса, система образования блестяще сконструирована, чтобы наказывать творческие способности; чтобы учить, как правильно писать математические символы, а не думать самостоятельно. Его книга будет для вас умным и немного безумным учителем, который поможет дойти до открытий и определений самостоятельно, а не заучивать их.

«Автор поставил перед собой очень амбициозную цель вместе с читателем заново сотворить математический анализ. Нельзя сказать, что у него всё вышло идеально чисто. В некоторых местах ощущается рваный темп, в некоторых — грубоватое исполнение, но в целом мелодия узнается и музыкант практически не фальшивит. Я бы рекомендовал эту книгу для чтения всем, кто хочет уловить скрытую музыку в математическом анализе — во всех этих бесконечно малых и бесконечно больших величинах, — но не хочет погружаться при этом ни в бесконечные леммы-теоремы, ни в занудные доказательства и вычисления. Это у автора получилось. Он добровольно выбрал не самый стандартный инструмент для погружения читателя в матанализ, но свои аплодисменты в конце концерта заслужил. Авторский текст математически корректен. Его отличие от общепринятого (точнее, стандартного) стиля учебных пособий — в постоянном диалоге с читателем, причем как с Читателем, который наряду с Автором является «героем» книги (если так вообще можно сказать про научно-популярную литературу), так и с читателем, который эту книгу читает. Это хорошее качество книги — она настраивает не на пассивное чтение, а на постоянное обдумывание прочитанного», – рассказывает о книге научный редактор русского издания.

Предлагаем прочитать фрагмент книги.

«Функция» — смешное название

Профессор К. О. Мэй рассказал мне, что термин «функция» попал в математику из-за неверного истолкования его правильного применения Лейбницем. Но он стал фундаментальным в математике и, как его ни назови, заслуживает лучшего изложения. Поэтому, возможно, в математическом образовании нет лучшего примера упущенных возможностей, чем изложение понятия функций.
Престон Хаммер, «Стандарты и математическая терминология»[1]

Машины делают самые разные предметы. Хлебопечка — машина, которая съедает ингредиенты, а выплевывает хлеб. Духовка — машина, которая будет съедать что угодно и выплевывать это же, но сильно повышенной температуры. Компьютерную программу, прибавляющую единицу к произвольному числу, можно считать машиной, которая съедает число и выплевывает другое, на единицу большее вложенного. Ребенок — машина, которая ест вещи и выплевывает их измазанными слюной.

Почему-то математики решили использовать странное слово «функция» для описания машин, которые едят одни числа и выплевывают другие. Намного лучше было бы назвать… да почти как угодно. Мы для начала поименуем их «машинами», а потом, как только привыкнем к этой идее, станем изредка называть их «функциями», но только изредка[2].

Будем использовать единственные инструменты, которые у нас есть, — сложение и умножение, — чтобы изобрести несколько машин, которые едят и выплевывают числа.

Рис. 1.1. Одна из наших машин

1. Самая скучная машина: если мы подаем в нее число, она выдает его же обратно.

2. Машина прибавления единицы: если мы подаем в нее число, она добавляет 1 к нему и выплевывает результат.

3. Машина удвоения: если мы подаем в нее число, она умножает его на 2 и выдает результат.

4. Машина умножения на себя: если мы подаем в нее число, она умножает его на это же число и выдает результат.

Нужно немало слов, чтобы говорить об этих машинах, так что давайте придумаем сокращения. Все символы в любой области математики, как бы замысловато они ни выглядели, всего лишь сокращения для того, о чем мы можем говорить словами, если мы не слишком ленивы. Большинство людей (хотя они обычно не скажут вам об этом) действительно боятся, когда видят пачку непонятных им уравнений, но пугаются меньше, когда видят какую-нибудь аббревиатуру вроде DARPA, UNICEF или SCUBA[3].

Но математика — это горка сокращений плюс рассуждения. В нашем путешествии мы изобретем много сокращений, и очень важно, чтобы мы придумывали такие, которые напомнят нам, о чем мы говорим. Например, если вы хотите говорить о круге, разумными обозначениями будут C (circle) и ○. Хорошие обозначения для квадрата — S (square) и □. Так очевидно, что вы можете удивиться, зачем я об этом говорю. Но когда вы смотрите на страницу, усыпанную уравнениями, и думаете: «Какой ужас!» — на самом деле вы видите лишь кучку простых идей в сильно сокращенной форме. Это верно для любого раздела математики: разобрать аббревиатуры — больше половины успеха.

Мы хотим говорить о наших машинах, используя меньше слов, и нам нужно придумать несколько удобных сокращений. Что делает сокращение хорошим? Решать нам. Изучим наши возможности. Мы можем описать Машину удвоения так.

Если мы положим в нее 3, она выплюнет 6.

Если мы положим в нее 50, она выплюнет 100.

Если мы положим в нее 1001, она выплюнет 2002.

А потом мы можем сказать, что так будет с любым числом. Но это отнимает безумно много времени, так мы никогда не закончим. Мы можем описать весь этот бездонный мешок предложений одним махом, просто сказав: «Если мы положим в нее (нечто), она выплюнет 2 ⋅ (нечто)», причем мы так и не знаем, чему конкретно равно (нечто). Мы можем сократить эту идею еще больше, написав: нечто ↦ 2 ⋅ нечто.

Итак, оставаясь в неведении относительно того, какое число мы положили в машину, мы умудрились сжать бесконечный список предложений до одного. Можем ли мы так сделать всегда? Видимо, нет. Мы еще не знаем. Но сейчас мы решили размышлять только о машинах, которые можно описать целиком в терминах сложения и умножения, и это дает нам возможность объединить бесконечное количество предложений в одно. Мы можем описать наши оставшиеся машины таким же сокращенным способом.

1. Самая скучная машина: нечто ↦ нечто.

2. Машина прибавления единицы: нечто ↦ нечто + 1.

3. Машина удвоения: нечто ↦ 2 ⋅ нечто.

4. Машина умножения на себя[4]: нечто ↦ (нечто)2.

Если это не укладывается в голове, вот еще несколько примеров:

1. Самая скучная машина:

3 ↦ 3

1234 ↦ 1234

2. Машина прибавления единицы:

3 ↦ 4

1234 ↦ 1235

3. Машина удвоения:

3 ↦ 6

1000 ↦ 2000

4. Машина умножения на себя:

2 ↦ 4

3 ↦ 9

10 ↦ 100

Попробуем сократить эти машины как можно больше, но без смехотворности. Под последней я подразумеваю потерю информации. Например, мы можем обозначить полное собрание сочинений Шекспира символом ♣, но это нам особо не поможет, поскольку мы не сможем извлечь из сокращения информацию, которую в него вложили. Сколько сокращений понадобится, чтобы полностью описать наши машины? Нам нужны названия: для самой машины; для того, что мы в нее кладем; для того, что мы получаем. Кроме того, нам необходимо еще одно: описать, как машина работает.

Давайте обозначать сами машины буквой M, тогда мы не забудем, о чем говорим. Возможно, мы захотим высказаться одновременно о нескольких машинах, тогда будем использовать букву M с разными шляпками (M, M̂, M̈, M̅), чтобы говорить о различных машинах. Мы назвали словом нечто то, что мы закладываем в машину, но давайте сократим это немного и будем писать просто s (stuff). А сейчас, когда у нас есть два сокращения, мы можем сконструировать из них третье. Это жульническая идея, и я никогда раньше не слыхал, чтобы кто-то допускал, что мы так делаем, не говоря уже о странности самого процесса. Но именно отсюда берет начало бо́льшая часть неразберихи с «функциями».

Что значит сконструировать третью аббревиатуру из первых двух? Какое название придумать, чтобы говорить о «вещи, которую машина M выплевывает, когда я кладу в нее нечто s»? Если мы придумаем название для этого, используя сокращения M и s, нам незачем другие буквы, и мы применим минимально возможное количество символов. Давайте назовем это M(s). Итак, M(s) — сокращение, которое мы используем для «вещи, которую машина M выплевывает, когда я кладу в нее нечто s».

Итак, нам нужно было назвать три вещи, но мы назвали две, потом сделали паузу, оглянулись, не подсматривает ли кто, и втихомолку использовали два названия, которые уже представили «буквами», чтобы написать третье.

Это странная идея, но она весьма полезна, как только мы к ней привыкнем. Если вас смущали «функции» выше, не беспокойтесь. Это всё простые рассуждения о машинах и сокращениях. Но вам этого не говорят.

Отлично, теперь у нас есть три названия, но мы всё еще не описали никаких конкретных машин на новом языке. Давайте заново представим четыре упомянутые выше машины. Я не стану расставлять их в прежнем порядке. Посмотрим, можете ли вы разобраться, где какая из них.

1. M(s) = s2.

2. M̂ (s) = 2s.

3. M̈ (s) = s.

4. M̅ (s) = s + 1.

Такие сокращения могут смущать, поскольку в каком-то смысле мы описали только выход, то, что машина выплевывает. Обе части уравнения[5] предложения M(s) = s2 свидетельствуют об этом. С другой стороны, оно говорит сразу о трех вещах: самой машине, том, что мы в нее кладем, и том, что мы оттуда достаем. Еще раз посмотрим на это сумасшедшее обозначение:

M(s) = s2.

Мы говорим о выходе с обеих сторон, верно. Но наше сокращение для выхода — M(s) — причудливый гибрид из двух других сокращений: для самой машины, М, и того нечто, что мы кладем туда — s. Поэтому предложение M(s) = s2 имеет три сокращения только в левой части. Будто этого недостаточно, мы переходим к описанию работы машины. Правая часть предложения, s2, — описание выхода, записанное в терминах входа.

Мы сказали одно и то же двумя способами: M(s) в левой части — наше название для выхода, а s2 в правой — его описание. Поэтому мы ставим знак равенства, и в итоге мы действительно описали машину таким методом, который выражает бесконечно много разных предложений в нескольких символах, поскольку говорит нам: если вы положите 2 в машину М, она выплюнет 4. Если вы положите в нее 3, она выплюнет 9. Если вы положите 4,976, она выплюнет то, что является 4,976 ⋅ 4,976, и т. д.

[1] Hammer P. C. Standards and Mathematical Terminology. The Pennsylvania State University. http://mumble.net/~jar/articles/hammer-standards.pdf.

[2] Мы будем использовать некоторые нестандартные термины, но я не утверждаю, что моя терминология «лучше» стандартной, и определенно не настаиваю, чтобы другие книги использовали ее! Цель эпизодического изобретения терминов — напоминать себе, что создаваемая нами математическая Вселенная полностью наша. Мы строим ее с нуля, нам и решать, что и как называть. Но не думайте, пожалуйста, что моя цель — перевести всё в новый набор терминов. Слово «функция», возможно, и не лучшее, но не такое уж и плохое, если вы к нему привыкнете.

[3] DARPA (Defense Advanced Research Projects Agency) — Управление перспективных исследовательских проектов Министерства обороны США, UNICEF (United Nations International Children’s Emergency Fund) — Детский фонд ООН, Scuba (selfcontained underwater breathing apparatus) — автономный подводный дыхательный аппарат. Прим. перев.

[4] Мы пишем (нечто)2 в качестве сокращения (нечто) ⋅ (нечто). В более общем случае мы будем использовать сокращение (нечто) число для замены фразы «Штука, которую вы получаете, когда умножите (нечто) на себя число раз». Не надо думать «я не понимаю степени», потому что сейчас нечего понимать. Это просто сокращение для умножения.

[5] Термин «уравнение» заставляет большинство людей испытывать дискомфортное сочетание страха и скуки — смесь эмоций, при которой думать невозможно. Так скажет любой, кто знаком с симпатической нервной системой. Так что же такое уравнение? Мы уже говорили, что математические символы — просто сокращения для того, что мы могли бы описать и словами. При таком подходе «уравнения» — не просто предложения, а сокращенные. Когда мы осознаем это, термин «уравнение» не выглядит таким уж плохим. В книге мы будем пользоваться обоими понятиями.