Теория игр

Издательство «Эксмо» представляет книгу «Теория игр» из серии «Для тех, кто хочет всё успеть».

Теория игр — сравнительно молодой математический метод, он появился в 40-х годах прошлого века. Но различные закономерности во взаимоотношениях сторон, борющихся за свои интересы, конечно же, отмечались значительно раньше. Авторы теории игр перевели то, что было известно психологам, экономистам, да и просто думающим людям, на язык математики. Постепенно теория игр стала междисциплинарной. Безусловно, можно (и нужно!) применять ее и в быту. Мы и применяем — как правило, интуитивно. Если же познакомиться с самой теорией, можно узнать немало полезного о том, как отстаивать свои интересы, налаживать взаимовыгодные партнерские отношения, избегать конфликтных ситуаций… Парадоксально, но факт: даже проигрыш может стать основой успеха!

Предлагаем прочитать фрагмент главы, посвященной одному из понятий теории игр — равновесию Нэша.

Теория игр — это не только умение просчитывать ходы соперника наперед. Это еще и о том, насколько важно иногда думать об общем благе и работать сообща. Ведь, согласитесь, для двоих голодных будет лучше получить по половине яблока вместо целого, чем не получить ничего.

Что такое равновесие Нэша?

Вы когда-нибудь задумывались о том, почему магазины, конкурирующие между собой, строят рядом друг с другом? Мы можем идти по улице в поисках аптеки, но не найти ее. Но стоит лишь свернуть за угол, как мы наткнемся на несколько аптек, расположенных рядом друг с другом. Это неспроста.

Так почему размещать конкурирующие магазины рядом друг с другом — одно из самых оптимальных решений? Дело в том, что такое расположение напрямую связано с экономикой. Каждый из владельцев волен установить свою цену на товар — низкую или высокую. Кажется, что конкурентам выгодно установить высокую цену, чтобы не терять собственную выручку. Однако если они не могут договориться, то каждый из них будет бояться, что конкурент начнет демпинговать и заберет к себе всех покупателей. Оба владельца бизнесов могут бесконечно долго воевать за покупателей, искусственно снижая цены. Однако вскоре им придется усвоить, что добиться успеха таким способом они не смогут.

Так как же поступить: снизить цены или взвинтить их, чтобы получить максимальную прибыль? Оказывается, обоим предпринимателям будет выгодно установить среднюю цену. Это приведет к тому, что конкуренты договорятся о ценовой политике. Эту ситуацию демонстрирует равновесие Нэша. Это модель, когда ни один из игроков не в силах увеличить свой выигрыш, если изменит свое решение, а другие игроки ничего не будут изменять.

Давайте представим, что два производителя кружек доминируют в своем сегменте рынка. Обе компании производят по миллиону кружек в год по цене 100 рублей за штуку. При этом их оборот составляет 100 миллионов в год. Они оба знают, что можно охватить больший рынок сбыта, и один из производителей принимает решение вместо одного миллиона кружек выпускать два миллиона в год. За счет увеличения объема ему удается сбить стоимость кружки со 100 до 85 рублей за штуку. В этом случае его доход подпрыгнет до 170 миллионов год. Однако этот производитель знает, что конкурент может последовать его примеру. И конкурент начнет тоже производить по 2 миллиона кружек по сниженной цене — 70 рублей за штуку. Таким образом, цена кружки на рынке падает со 100 рублей до 70. Дальше — больше: ведь конкуренты продолжают соревноваться в том, кто сильнее собьет цену и получит больше покупателей. Согласитесь, что им обоим было бы гораздо выгоднее продавать кружку за 100 рублей, нежели за 70. И когда продавцы устанавливали одинаковую цену на свой товар, они добивались того самого равновесия. Снижая цену в схватке за клиентов, ни один из продавцов не сможет увеличить свой доход, если будет принимать решение в одностороннем порядке. Что им нужно сделать в этом случае? Правильно! Договориться о стоимости товара.

Итак, равновесие Нэша — это стабильное состояние системы, включающей в себя несколько взаимодействующих участников, где ни один участник не может выиграть, изменив свою стратегию, пока стратегии других участников не меняются. Эта концепция позволяет выделить среди всех профилей некоторые стратегии в игре, которые обладают хорошим свойством — каждый игрок отыгрывает оптимальную стратегию в ответ на стратегии соперников.

Джон Нэш: кто он и в чём его заслуга?

Джон Нэш вывел равновесие в теории игр, согласно которому ни один участник не может увеличить свой выигрыш, изменив стратегию, если другие участники своих стратегий не меняют.

Но обо всём по порядку. Родился Джон в 1928 году. В 14 лет, после прочтения книги «Творцы математики», он страстно полюбил царицу наук. Уже в 1947 году он окончил институт в Вашингтоне и в 19 лет вышел из института сразу с двумя дипломами — дипломом бакалавра и магистра. В качестве рекомендации для дальнейшего обучения он получил письмо, где его назвали «гением математики». Затем Джон Нэш продолжил обучение в Принстонском университете, где и начал знакомиться с теорией игр, в 21 год он уже защитил диссертацию на эту тему.

С 1950 по 1953 год Джон публиковал работы в области игр, в которых описывал возможности некооперативного равновесия, притом что обе стороны используют стратегию, приводящую к устойчивому равновесию. Этот результат и получил название «равновесие Нэша».

Но не всё складывалось гладко в судьбе Джона Нэша. В 30 лет его «подкосил» страшный недуг. Шизофрения. Через год после обнаружения диагноза он лишился работы. Чуть позже его принудительно поместили в психиатрическую клинику. Тогда Джону казалось, что в газетах периодически печатают зашифрованные сообщения от инопланетян, с расшифровкой которых под силу справиться только ему. На протяжении тридцати лет Нэш против своей воли кочевал из одной клиники в другую, откуда периодически сбегал. Его отыскивали, брали и снова помещали в лечебницу. Это продолжалось до определенного времени. В один прекрасный день Джон — о чудо! — таинственным образом излечился. Как это произошло, для всех до сих пор остается загадкой.

Судьба Джона Нэша
Великий математик Джон Нэш погиб в автомобильной катастрофе 23 мая 2015 года вместе с супругой Алисией Нэш. Водитель такси, в котором ехали супруги, потерял управление при обгоне и врезался в разделительный барьер. На момент трагедии Нэшу было 87 лет

Научная жизнь Нэша снова начала набирать обороты. В 1994 году Джон Нэш получил Нобелевскую премию в области экономики за анализ равновесия в теории некооперативных игр. А в 2015 году он был удостоен высшей награды по математике — Абелевской премии. Джон Нэш стал первым человеком в мире, удостоенным этих обеих наград.

Равновесие Нэша

Фокальные точки в равновесии Нэша — это очевидно для вас, что это очевидно для них, что это очевидно для вас.

Фокальная точка — это равновесие в игре, выбираемое всеми участниками взаимодействия на основе общего знания, помогающего им скоординировать свой выбор

Давайте представим, что вы — собственник автосалона, а ваш друг — собственник другого автосалона. При этом ваши компании — конкуренты. Однажды к вам пришел некий человек, который предложил любопытную сделку. Он сказал, что даст вам 1 миллион долларов либо даст 2 миллиона вашему конкуренту. Либо одно, либо другое — решать только вам. Но это при условии, что ваш конкурент решает точно такую же задачу. На первый взгляд выгоднее взять 1 миллион себе: неизвестно, как поступит конкурент, а этот миллион — ваш, вот он, рядом. И какая разница, что выберет он! Если он примет решение в вашу пользу, то вам очень сильно повезет, и куш составит все 3 миллиона.

А если нет — значит, нет, но вы всё равно не останетесь ни с чем — один-то миллион вы уже прибрали себе. Поэтому ясно, что если каждый из владельцев салона будет индивидуально выбирать оптимальную стратегию, то каждый скажет: «Миллион мне!» Что же получится в результате? Каждый получит по 1 миллиону долларов.

А теперь представьте, что вы созвонились со своим другом и решили скоординировать свои действия. Тогда каждый из вас сделает выбор в 2 миллиона в пользу соперника. И если каждый скажет так, то у каждого из вас будет по 2 миллиона долларов. Это говорит о том, что если вы, не координируя свои действия, индивидуально пытаетесь оптимизировать их, то в результате может оказаться так, что всем хуже.

Определенный способ играть в игру может возникнуть во времени, если игра разыгрывается повторно, и появляется некоторое устойчивое социальное соглашение. Если это так, то для игроков может быть «очевидным», что это соглашение будет поддерживаться. Это соглашение становится, так сказать, фокальным.

Как равновесие Нэша выглядит на практике?

Давайте снова немного пофантазируем и представим, что вы решили открыть кафе в парке. Очевидно, что наиболее оптимальное расположение локации для торговли — это центральная область. Ведь для того, чтобы добраться до кафе, всем покупателям придется идти одинаковое расстояние с любого конца парка. И всё будет хорошо до тех пор, пока ваше кафе — единственное, и вокруг еще не появилось ни одного конкурента.

Но предположим, что конкурент всё-таки появился. Вы решаете прийти к соглашению: ассортимент блюд у вас одинаковый, и вы договариваетесь поделить парк на две половины. Таким образом, вы делите всех клиентов поровну. Это оптимальное решение, потому что каждый из вас получает одинаковое количество гостей. И вместе с тем ваше положение удобно для большинства гуляющих в парке. Но с точки зрения продавца такая ситуация — не самая лучшая. Ведь всегда остается соблазн занять наиболее выгодное положение — в центре парка, чтобы обслуживать как можно больше покупателей.

Допустим, на следующий день вы приходите в парк и, как и договаривались, занимаете позицию на своей половине парка. А ваш конкурент сыграл не по-честному и решил занять лакомую центральную зону. Такое зачастую происходит в реальном бизнесе, когда у каждой конкурирующей стороны есть стремление к более выгодному положению, чем у конкурента. Предыдущее положение не было оптимальным с точки зрения прибыли, так как не было достигнуто равновесие Нэша, и каждый продавец-игрок будет стремиться занять более выгодное для себя положение. Теперь вы понимаете, что конкурент обслуживает 75 % людей, а вы — всего 25 %. Пытаясь изменить ситуацию, вы постепенно начинаете перемещать свое кафе ближе к центру парка. Заметив это, ваш конкурент начинает двигаться навстречу вам, чтобы процент его влияния продолжал увеличиваться, а ваш — уменьшаться. Такие перемещения будут происходить до тех пор, пока вы оба не окажетесь в центре парка, потому что именно здесь одинаковое расстояние для всех клиентов и вам просто нет смысла куда-либо перемещаться, теряя потенциальных покупателей.

Это состояние, в котором каждый игрок не может увеличить свои шансы на победу, и называется равновесием Нэша. Именно поэтому так популярны торговые центры, где все магазины находятся вместе. Равновесие Нэша нашло широкое применение в различных сферах бизнеса, в экономике, в анализе социального взаимодействия людей, а также для разъяснения обычных явлений в политической теории.

Смотрите также: К выходу «Игр разума» Сильвия Назар и Андрей Бремзен расскажут о Джоне Нэше Максим Руссо Игры: теория и жизнь. Репортаж о лекции А. Захарова Александр Шень Основания теории вероятностей и колмогоровская сложность Конфликт и кооперация сквозь увеличительное стекло теории игр